[maximos e minimos] Problemas de minimos e maximos

por **amigao** » Seg Jun 24, 2013 22:28

Não consegui fazer. Como começo.

Considere a curva $y=1-x^2 , 0\leq x \leq1$ . Traçar uma tangente a curva tal que a area do triangulo que ela forma com os eixos coordenados seja minima.

agradeço.

por **young_jedi** » Ter Jun 25, 2013 17:49

primeiro calculando a derivada pra achar o coeficiente angular da reta tangente temos

f'(x)=-2x

vamos supor que a reta seja tangente a parábola em um ponto x=a sendo assim o coeficiente sera

-2a

e

portanto a equação da reta sera

$\frac{y-(1-a^2)}{x-a}=-2a$

y=-2a(x-a)+1-a^2

agora encontrando os pontos onde ela cruza nos eixos

y_0=-2a.0+a^2+1

e

$x_0=\frac{a^2+1}{2a}$

a área sera dada por

$A=\frac{x_0.y_0}{2}=\frac{(1+a^2)(1+a^2)}{4a}=\frac{(1+a^2)^2}{4a}$

derivando com relação a a para encontra o valor de máximo

$A'=\frac{4a(1+a^2)}{4a}-\frac{(1+a^2)^2}{4a^2}$

$A'=\frac{3a^4+2a^2-1}{4a^2}=0$

portanto

3a^4+2a^2-1=0

dai tiramos

$a^2=\frac{1}{3}$

$a=\pm\frac{1}{\sqrt3}$

com isso você determina a reta

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