[Limite] Duas variaveis

por **fabriel** » Sáb Jun 15, 2013 16:48

Oi pessoal estou na duvida em um exercício aqui.
Não estou conseguindo fazer uma manipulação.
Preciso calcular esse limite:
$\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{{3x}^{3}-{2x}^{2}y +3{y}^{2}x-2{y}^{3}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$

Eu tentei simplificar em produtos notáveis mais não deu, tipo na forma (a-b)³.
Que tipo de manipulação devo usar?

por **e8group** » Sáb Jun 15, 2013 18:51

Suponha que exista a,b,r

reais satisfazendo a igualdade $3x^3 -2x^2y + 3y^2x - 2y^3 = (x^2+y^2)(ax+by) + r , \forall (x,y) \in \mathbb{R} ^2$ .Por distributividade, (x^2+y^2)(ax+by) + r = ax^3 +bx^2y + ay^2x +by^3 +r

. Logo ,

.Assim ,

3x^3 -2x^2y + 3y^2x - 2y^3 =(x^2+y^2)(3x-2y)

.

por **temujin** » Sáb Jun 15, 2013 19:10

Acho que tb dá pra fazer por coordenadas polares. Sejam:

$x=\rho.cos\theta , y=\rho.sen\theta$

$(x,y)=(0,0) \Leftrightarrow \rho=0$

Substituindo no limite:

$\lim_{\rho \to 0} \frac{3 \rho^3.cos^3 \theta - 2\rho^2.cos^2 \theta.\rho.sen^2 \theta+3\rho^2.sen\theta.\rho.cos \theta-2\rho^3.sen^3 \theta}{\rho^2.cos^2 \theta+\rho^2.sen^2 \theta} =$

$\lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^3}{\rho^2} . \frac{cos^3 \theta - 2cos^2 \theta . sen \theta + 3 sen \theta . cos \theta - 2 sen^3 \theta}{1}=0$

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