Aplicações de Derivada - Problemas de Otimização - Socorro!!

[Josi]

Tenho um trabalho com a questão abaixo:

* Um fio de 12 cm pode ser curvado formando um círculo, dobrado formando um quadrado ou cortado em duas partes fazendo um círculo e um quadrado. Quanto do fio deve ser usado para o círculo para que a área total englobada pela(s) figura(s) seja:
a) máxima?
b) mínima?

Já tentei resolver de várias formas, mas os resultados estão sem lógica, como área negativa, comprimento maior que 12, entre outros... Não sou muito boa com fórmulas geométricas, então se alguém puder me ajudar fico muito grata...

[Elcioschin]

Corte o fio em dois pedaços: um de comprimento x (para o círculo) e o outro de comprimento (12 - x) para o quadrado.

Seja R o raio do círculo ----> 2*pi*R = x ------> R = x/2*pi -----> Sc = pi*R² -----> Sc = pi*(x/2*pi)² ----> Sc = x²/4*pi

Seja L o lado do quadrado ----> L = (12 - x)/4 ----> Sq = L² ----> Sq = [(12 - x)/4]² -----> Sq = x²/16 - 3x/2 + 9

S = Sc + Sq -----> S = x²/4*pi + x²/16 - 3x/2 + 9 -----> Derivando e igualando a zero:

S' = x/2*pi + x/8 - 3/2 ------> x*(1/2*pi + 1/8) - 3/2 = 0 ----> x*(pi + 4)/8*pi = 3/2 -----> x = 12*pi/(pi + 4)

Esta é a área máxima (derivada 2ª < 0)