geometria

por **zenildo** » Ter Mai 07, 2013 17:35

Se o perimetro de um triangulo inscrito num circulo medir 20xcm e a soma dos senos de seus ângulos internos for igual a x, então a área do círculo, em cm², será igual a:

a)50pi
b)75pi
c)100pi
d)125pi
e)150pi

por **brunnkpol** » Ter Mai 07, 2013 21:44

$sen\,a + sen\,b+sen\,c=x$

--------------------------------------------------------
Pela lei dos senos, temos:
$\frac{a}{sen\,a}=2R$

portanto

$\frac{a}{2R}=sen\,a$

fazendo o mesmo com os três lados do triângulo:

$\frac{b}{2R}=sen\,b$ , $\frac{c}{2R}=sen\,c$

Somando as três expressões:
$\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}=x$

$\frac{a+b+c}{2R}=x$

tendo 2P=a+b+c=20x

substitui-se:
$\frac{20x}{2R}=x$

$\frac{10x}{R}=x$

Rx=10x

Área do círculo é $A=\pi{R}^{2}$

portanto
$A=\pi{10}^{2} A=100\pi {cm}^{2}$ alternativa (c)

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