[LIMITE] Limites que tendem ao infinito com raízes

por **Mell** » Qua Mai 01, 2013 15:21

Não consigo calcular este limite:

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt[5]{x^4+1+x}}{\sqrt[9]{x^7-x^2+3x}}$

Vi vários exemplos de como se calcula quando o índice da raiz e a mair potência são iguais (como x² e raiz quadrada), mas neste caso com raiz quinta e raiz nona, não sei como proceder. Acho que se não houvesse as raízes o limite daria +infinito, mas com essas raízes não sei como começar. Alguém me ajuda??

por **e8group** » Qua Mai 01, 2013 20:13

Quando o radicando é um polinômio como neste caso ,é interessante deixar o termo dominante(termo de maior grau com coeficiente não nulo de cada polinômio ) em evidência de cada polinômio .

Assim ,se $x \neq 0$ , temos : x^4 +1 +x = x^4(1 + 1/x^4 + 1/x^3)

e

.

Todas parcelas que contém "x" no denominador ,tendem a

para

muito grande .Desta forma ,o limite a ser calculado se resume a $\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[9]{x^7}}$ . Reescrevendo os radicais na forma de potência , $\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[9]{x^7}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^{4/5}}{x^{7/9}} = \lim_{x\to +\infty} x^{4/5 - 7/9} = \lim_{x\to +\infty} x^{1/45} = \lim_{x\to +\infty} \sqrt[45]{x} = +\infty$ .

OBS.:

mmc(5,9) = 45