Encontrar Solução Geral de um Sis. Linear

por **Jhonata** » Qui Mai 02, 2013 16:09

Estou com o seguinte problema em mãos, aparentemente bem simples:

Assinale a solução geral do sistema linear representado pela matriz aumentada $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

a) $\left(5,-2,1 \right)+t\left(14,-6,2 \right)$
b) $\left(-2,1,0 \right)+t\left(7,3,0 \right)+s\left(0,0,1 \right)$
c) $\left(-2,1,0 \right)$
d) $\left(5,-2,2) \right)+t\left(14,-6,2 \right)$

A alternativa b e c são falsas; na matriz, nitidamente tenho apenas uma linha nula, o que vai nos dar uma variável independente e teremos como conjunto solução uma reta(que no ponto de vista geral, o sistema terá infinitas soluções). Cara, eu terminei de escalonar(pra matriz totalmente escalonada) a matriz e parametrizei as equações lineares:

~ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & -7 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

$\begin{cases} x -7z = -2 \\ y + 3z = 1 \end{cases}$

Fazendo z = t (o parâmetro, ou seja, a variável livre.):

$\begin{cases} x = -2 +7t \\ y = 1 - 3t \end{cases}$

Dai o conjunto solução seria a reta:

{ $(-2,1,0)+t(7,-3,1)| t \in\Re$ }

Que não bate com nenhuma das alternativas do gabarito que é a alternativa a.
Mas vemos algo em comum na minha resposta com relação ao gabarito.
1)o vetor do espaço gerado é metade do que aparece no gabarito;
2) o vetor (-2,1,0) aparece no gabarito.

No que posso ter errado? Me corrijam, por favor. Qualquer ajuda é bem vinda. Grato desde já.

por **e8group** » Qui Mai 02, 2013 16:56

Sua solução está correta . No entanto ,qualquer vetor não nulo paralelo ao vetor diretor também é vetor diretor da reta . Assim , o vetor (2t' +1)(7,-3,1)

é diretor da reta .Onde : $t =2t' + 1 , \forall t' \in \mathbb{R}$ .
Além disso , note que : (2t' +1)(7,-3,1) = 2t'(7,-3,1) + (7,-3,1) = t'(14,-6,2) + (7,-3,1)

.

Daí ,

$(-2,1,0) + t(7,-3,1) = \\ \\ (-2,1,0) + t'(14,-6,2) + (7,-3,1) = \\ \\ (5,-2,1) + t'(14,-6,2)$ . Isto mostra que seus cálculos estão corretos .

por **Jhonata** » Qui Mai 02, 2013 17:26

Excelente explicação, mas ainda permaneceram duas dúvidas:

Como encontrar o vetor diretor?
E como eu saberia/notaria que deveria encontrá-lo pra utilizar no problema em questão?

Ah, muito obrigado mesmo pela ajuda!

por **e8group** » Qui Mai 02, 2013 18:01

Jhonata escreveu:Como encontrar o vetor diretor?

Se uma reta passa pelos pontos

e

qualquer vetor que é múltiplo escalar de $\overrightarrow{AB}$ será paralelo a $\overrightarrow{AB}$ , ou seja , qualquer vetor que é múltiplo escalar de $\overrightarrow{AB}$ será vetor diretor desta reta .(*) A escolha deste vetor irá influenciar no parâmetro ,por exemplo ,enquanto tomando-se t = 0

obtemos que o ponto B =( -2,1,0)

pertence a reta ,por outro lado ,tomando-se t' = -1/2

obterá

.

Jhonata escreveu:E como eu saberia/notaria que deveria encontrá-lo pra utilizar no problema em questão?

Está pergunta não sei responder ,geralmente quando a questão é múltipla escolha podemos verificar se a solução é equivalente a uma das alternativas . Neste caso , é fácil ver que o vetor (7,-3,1)