Teorema do valor médio

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Teorema do valor médio

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Teorema do valor médio

Mensagempor crsjcarlos » Qua Mai 01, 2013 12:09

Use o Teorema do valor médio para provar a seguinte desigualdade:
|sen(a) - sen(b)| \leq |a - b|, para todo a e b
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Re: Teorema do valor médio

Mensagempor e8group » Qua Mai 01, 2013 14:07

Definimos g(x) = sin(x) , I = [a_1,a_2] . Como g é diferenciável em I (note que este caso é particular , poderíamos ter apenas g contínua em [a_1,a_2] e diferenciável em (a_1,a_2) para aplicar o Teorema do valor médio [TVM] ) , pelo TVM , existe um ponto c em ( a_1, a_2 ) tal que g'(c) = \frac{g(a_2) - g(a_1)}{a_2 - a_1} = cos(c) .

Para concluir ,tome a_1 =a , a_2 = b ou a_1 = b , a_2 = a e observe que \forall x\in \mathbb{R} , |cos(x) | \leq1 .
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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