série: raio de connvergência

por **Victor Gabriel** » Sáb Abr 27, 2013 05:47

Bom dia

DÚVIDA sobre intervalo de convergência de série.
Questão: Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série $\sum_{\n=0}^{\infty}\frac{{(-3)}^{n}{x}^{n}}{\sqrt[]{n+1}}$ .
Tem como mim ajudarem ai nesta questão. Até mais tarde!

por **young_jedi** » Dom Abr 28, 2013 11:27

pelo teste da razão

$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$

portanto

$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-3)^{n+1}.x^{n+1}}{\sqrt{n+1+1}}.\frac{\sqrt{n+1}}{(-3)^n.x^n}\right|<1$

$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-3)x\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}\right|<1$

$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}.(-3)x\right|<1$

$\lim_{n\to\infty}\left|(-3)x\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}\right|<1$

$\lim_{n\to\infty}|3x|.\frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}<1$

aplicando o limite temos

|3x|<1

portanto

$|x|<\frac{1}{3}$

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