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Campo conservativo

Campo conservativo

Mensagempor barbara-rabello » Sáb Abr 20, 2013 17:38

Alguém pode me ajudar ? Sei que posso resolver por campo conservativo, mas não consegui desenvolver!
Seja F (x,y,z)= (xyf(x^{2}+y^{2}+z^{2}))i + (y^{2}f(x^{2}+y^{2}+z^{2}))j + (zf(x^{2}+y^{2}+z^{2}))k,
onde f: \Re\rightarrow\Re é uma função diferenciável. Seja g: \Re\rightarrow\Re uma
antiderivada de f, tal que g(8) = 10 e g(4) = 2. Calcule \int_{C} F.dr, onde C é a parte da interseção da superfície cilíndrica x² + y² = 4 com o plano z = y, contida no primeiro octante, orientada no sentido antihorário quando vista de cima.

Obs.: é uma função vetorial.
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Re: Campo conservativo

Mensagempor young_jedi » Dom Abr 21, 2013 15:10

por campo conservativo eu não consegui visualizar a solução
mais uma possivel solução seria parametrizar o caminho da integral, definido pela intersecção do cilindro e do plano
teriamos que

x=2cos(t)

y=z=2sen(t)

com 0\leq t\leq\frac{\pi}{2}

então
r=(2cos(t),2sen(t),2sen(t))

dr=(-2sen(t),2cos(t),2cos(t))dt

subsitiuindo na integral da pra calcular,se tiver duvidas comente
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Re: Campo conservativo

Mensagempor marinalcd » Dom Abr 21, 2013 18:38

também não consegui fazer por campo conservativo.
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Re: Campo conservativo

Mensagempor barbara-rabello » Dom Abr 21, 2013 19:36

Quando tentei desse jeito não consegui terminar, pois não consegui montar a integral,
pois vai aparecer a função f. Como resolver a integral assim?
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Re: Campo conservativo

Mensagempor young_jedi » Dom Abr 21, 2013 22:24

então, substituindo na integral temos

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Big(2cos(t).2sen(t).f(4cos^2(t)+4sen^2(t)+4sen^2(t)),
4sen^2(t).f(4cos^2(t)+4sen^2(t)+4sen^2(t)),2sen(t).f(4cos^2(t)+4sen^2(t)+4sen^2(t))\Big)\Big(-2sen(t),2cos(t),2cos(t)\Big)dt

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-8cos(t).sen^2(t).f(4+4sen^2(t))+
8cos(t)sen^2(t).f(4+4sen^2(t))+4sen(t)cos(t).f(4+4sen^2(t))dt

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}4sen(t)cos(t).f(4+4sen^2(t))dt


fazendo

u=4+4sen^2(t)

du=8sen(t)cos(t)dt

então a integral fica

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{f(u)}{2}du

mais como g é a antiderivada de f então

=\frac{g(u)}{2}\Big|_{0}^{\pi/2}

=\frac{g(4+4sen^2(t))}{2}\Big|_{0}^{\pi/2}

\frac{g(4+4)-g(4)}{2}=\frac{8-2}{2}=3
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Re: Campo conservativo

Mensagempor barbara-rabello » Seg Abr 22, 2013 14:24

Muito obrigada pela ajuda! Realmente não sabia como fazer com a função.

Só mais uma pergunta, na hora de parametrizar, não tem problema fazer y=z= 2sen(t)? E porque você não calculou com o intervalo de 0 à \frac{\Pi}{2}? Não entendi essa passagem.
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Re: Campo conservativo

Mensagempor young_jedi » Seg Abr 22, 2013 14:32

não tem problema substitui z=y=2sen(t)

e eu calculei sim para o intervalo de \frac{\pi}{2}

veja que

g\left(4+4sen^2\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)

=g(4+4)=g(8)

e

g\left(4+4sen^2(0)\right)

=g(4+0)=g(4)
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Re: Campo conservativo

Mensagempor barbara-rabello » Seg Abr 22, 2013 14:50

Muiuto obrigada pela ajuda e pela paciência!!! rsrs
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.