[LIMITES] Limite através da definição

por **Henrique Bueno** » Sex Abr 19, 2013 00:25

Supondo que o lim f(x)=L quando x->p prove que existem r>0 e M>0 tais que
0<|x-p|<r => -M <=f(x)<=M

primeiramente ao analisar as afirmações, a primeira parte (0<|x-p|<r) é idêntica a definição de limite, somente empregou um r onde normalmente usamos um delta.
Usando que |f(x)-L|< E (onde E é aquele epslon eu acho, aquela letra grega)
-E < f(x)-L < E
-E -L < f(x) < E -L

embora eu tenha conseguido fazer uma sentença semelhante a -M <=f(x)<=M, não consigo definir um M através dela. Além disso acredito que era necessário relacionar o M e o r para que o limite fosse provado. Por favor, me ajudem !

por **e8group** » Sex Abr 19, 2013 02:00

Temos que $\lim_{x\to p} f(x) = L \iff \begin{cases} \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \mid \forall x\in D_f \\ 0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon \end{cases}$ .

Como |f(x)-L| > |f(x)| - |L|