Questão UECE 2012

por **Phaniemor** » Qui Abr 18, 2013 11:33

Se o desenvolvimento de $\right){\left(2x²+\frac{1}{x} \right)}^{n}$ possui 9 termos e um deles é 112.c. ${x} \right)}^{7}$ , o valor de c será:
a)8
b)16
c)24
d)32

a expressão começa com 2x² + ...

por **DanielFerreira** » Qui Abr 18, 2013 12:01

Phaniemor,
seja bem-vindo(a)!

Qual o número de termos de (a + b)^2

? Três, certo?!

Qual o número de termos de (a + b)^3

? Quatro, certo?!

Disso, podemos concluir que encontramos o número de termos somando UM ao expoente!!

Daí, se o número de termos é NOVE,temos:

$\\ n + 1 = 9 \\ \boxed{n = 8}$

Portanto, $\left ( 2x^2 + \frac{1}{x} \right )^8$ .

Da fórmula $\\ T_{p + 1} = \binom{n}{p} \cdot a^{n - p} \cdot b^p$ , tiramos:

Que a diferença entre os expoentes é 7, então:

$\\ 2(n - p) - p = 7 \\ 2n - 2p - p = 7 \\ 16 - 7 = 3p \\ \boxed{p = 3}$

Segue,

$\\ T_{p + 1} = \binom{n}{p} \cdot a^{n - p} \cdot b^p \\\\\\ T_{3 + 1} = \binom{8}{3} \cdot \left ( 2x^2 \right )^{8 - 3} \cdot \left ( \frac{1}{x} \right )^3 \\\\\\ T_{3 + 1} = \frac{8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{5!}}{\cancel{3!} \cancel{5!}} \cdot \left ( 2x^2 \right )^5 \cdot x^{- 3} \\\\\\ T_{3 + 1} = 56 \cdot 32x^{10} \cdot \left x^{- 3}$

$\boxed{T_{3 + 1} = 1792x^7}$

Por fim, resta-nos dividir o valor encontrado pelo que foi dado no enunciado, veja:

$\\ \frac{1792x^7 }{112 \cdot c \cdot x^7} = \\\\\\ \frac{1792\cancel{x^7} }{112 \cdot c \cdot \cancel{x^7}} = \\\\\\ \frac{1792}{112c} = \\\\\\ \frac{16}{c}$

Phaniemor escreveu:Se o desenvolvimento de $\right){\left(2x²+\frac{1}{x} \right)}^{n}$ possui 9 termos e um deles é 112.c. ${x} \right)}^{7}$ , o valor de c será:
a)8
b)16
c)24
d)32

a expressão começa com 2x² + ...

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