Pedido de explicação mais filosófica do que calculista.

por **Douglas16** » Seg Abr 15, 2013 11:28

Assumindo que f(x)

é diferenciável em x=a

, expresse o valor deste limite em função de $f'\left(a \right)$ :

$\lim_{h\rightarrow0} \frac{f\left(a+h \right)-f\left(a-h \right)}{2h}$

Fazendo a substituição x=a-h

, então

:

Portanto, $\lim_{h\rightarrow0} \frac{f\left(x+2h \right)-f\left(x \right)}{2h}= f'\left(a \right)$

Aqui considero que o limite dado pela questão pode ser escrito em função de $f'\left(a \right)$ , pois se considerar primeiramente os seguintes limites isoladamente:

$\lim_{h\rightarrow0} f\left(x \right)= f\left(a \right)$

$\lim_{h\rightarrow0} f\left(a+h \right)= f\left(a \right)$

$\lim_{h\rightarrow0} 2h= \lim_{h\rightarrow0} h = 0$

Assim o limite dado pela questão: $\lim_{h\rightarrow0} \frac{f\left(a+h \right)-f\left(a-h \right)}{2h}$ , pode ser reescrito como $\lim_{h\rightarrow0} \frac{f\left(a+h \right)- f\left(a \right)}{h}$ $=f'\left(a \right)$ , pois cada limite de cada termo do limite da questão considerado isoladamente resulta no mesmo valor do limite que depois considerados juntamente resulta em $\lim_{h\rightarrow0} \frac{f\left(a+h \right)- f\left(a \right)}{h}$ $=f'\left(a \right)$

Alguém tem outra explicação?

por **e8group** » Seg Abr 15, 2013 18:07

Podemos proceder da seguinte forma :

$\lim_{h\to 0} \frac{f(h+a) - f(a-h)}{2h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(h+a)- f(a) + f(a)- f(a-h)}{2h}$ .

Ora ,mas pelo fato de

ser diferenciável no ponto

implica

é contínua em

,desta forma $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ ,além disso $\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \lim_{h\to 0} f(a-h) = L \iff \lim_{h\to 0} f(a +h) = L$ (para algum

real ).Assim ,

$\lim_{h\to 0} \frac{f(h+a)- f(a) + f(a)- f(a-h)}{2h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(h+a)- f(a) + f(a+h)- f(a)}{2h} = 2 \lim_{h\to 0} \frac{f(h+a)- f(a) }{2h} = f'(a)$ .

Tomemos por exemplo f(x) = x^2

que é uma função contínua em toda a reta .
Temos :
$\lim_{h\to 0} \frac{(h+a)^2 - (a-h)^2 }{2h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^2 +a^2 +2ah - a^2 -h^2 +2ah }{2h} = \lim_{h\to 0} \frac{ 4ah }{2h} = 2a$ .