[Equação trigonométrica] Resolução da equação

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[Equação trigonométrica] Resolução da equação

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[Equação trigonométrica] Resolução da equação

Mensagempor JessicaAraujo » Qui Abr 11, 2013 15:59

Podem me ajudar?

Resolva a equação 2sec²(? - 3x) + 3 tan²(? - 3x) = 2, para x e R.
JessicaAraujo
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Re: [Equação trigonométrica] Resolução da equação

Mensagempor e8group » Qui Abr 11, 2013 18:09

Considere w = \pi -3x ,temos então :

2sec^2(w)+ 3tan^2(w) = 2 .

Ora ,mas pela identidade trigonométrica fundamental sin^2 w + cos^2 w = 1 .Multiplicando ambos membros da equação por sec^2 w = 1/cos^2 w resulta sec^2 w = 1 + tan^2 w .Significa que podemos escrever tan^2(w) em função de sec^2(w) (e vice-versa) .

Desta forma ,ao substituirmos sec^2 w = 1 + tan^2 w na equação 2sec^2(w)+ 3tan^2(w) = 2 vamos ficar com

2[1 +tan^2(w)] + 3tan^2(w) - 2 = 0

Ou ainda 5tan^2(w) = 0 .

Tente concluir ...
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Re: [Equação trigonométrica] Resolução da equação

Mensagempor JessicaAraujo » Qui Abr 11, 2013 19:12

Cheguei ao resultado:

X= \frac{K\pi}{3}, K \in Z

Correto?
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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