[PG infinita com trigonometria] ITA-SP

por **JKS** » Qui Abr 11, 2013 01:54

preciso de ajuda,desde já agradeço!

Seja $\theta$ um valor fixado no intervalo $\left[0,\frac{\pi}{2} \right]$ . Sabe-se que a1=cotg $\theta$ é o primeiro termo de uma PG infinita de razão q = ${sen}^{2}\theta$ .A soma de todos os termos dessa progressão é :

gabarito : sec $\theta$ .cossec $\theta$

por **e8group** » Qui Abr 11, 2013 13:27

A fórmula da Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica é :

$S_{\infty} = \frac{a_1}{1-q}$ .

Caso tenha curiosidade de como chegar nesta fórmula ,veja :

$S_{\infty} = a_1 \cdot q^0 + a_2 \cdot q^1 + a_3 q^2 + \hdots + a_n \cdot q^{n-1} + \hdots$ .

Ou ainda de forma compacta ,

$S_{\infty} = \sum_{k=1}^{\infty} a_1 \cdot q^{k-1}$ .

Agora note que $\sum_{k=1}^{\infty} a_1 \cdot q^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty} a_1 \cdot q^{k} = q \cdot \sum_{k=0}^{\infty} a_1 \cdot q^{k-1} = q \cdot \left(\sum_{k=1}^{\infty} a_1 \cdot q^{k-1} + a_1 q^{-1}\right) =$

$q \cdot S_{\infty} + a_1$ .

Daí ,somando-se $- q \cdot S_{\infty}$ em ambos membros , temos

$S_{\infty} + (- q \cdot S_{\infty}) = q \cdot S_{\infty} + a_1 + ( - q \cdot S_{\infty}) = a_1$ .

Como $S_{\infty} + (- q \cdot S_{\infty}) = S_{\infty}(1 -q)$ ; desde que $1 - q \neq 0$ ,ou seja , $q \neq 1$ . Podemos ,multiplicar ambos membros por 1/(1-q)

obtendo ,

$(**) S_{\infty} = \frac{a_1}{1-q}$ .

Aplicação para o exercício :

Condições para aplicarmos a fórmula (**)

:

Como foi dado que $q = sin^2(\theta)$ e $a_1 = cot(\theta) = \frac{cos(\theta)}{sin(\theta)}$ ,temos então que obrigatoriamente $sin^2(\theta) \neq 1$ e $sin(\theta) \neq 0$ .

Assim , $\theta$ é um valor fixado no intervalo $\left(0,\pi/2\right)$ e não $\left[0,\pi/2\right]$ .Com estas condições podemos aplicar a fórmula (**)

,segue

$S_{\infty} = \frac{cot(\theta) }{1-sin^2(\theta) }$ que devido a $sin^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1$ ,

$S_{\infty} = \frac{cot(\theta) }{1-sin^2(\theta) } = \frac{cot(\theta) }{cos^2(\theta)} = \frac{1}{cos(\theta)} \cdot \frac{1}{sin(\theta)} = sec(\theta) \cdot csc(\theta)$ .

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