Aritmética

[matmatco]

boa noite, estou tentando resolver esse exercício faz algum tempo mas ainda não compreendi como mostrar segue o exercício abaixo:

Fixe três algarismos distintos e diferentes de zero.Forme os seis números com dois algarismos distintos tomados dentre os algarismos fixados.Mostre que a soma desses números é igual a 22 vezes a soma dos três algarismos fixados.

considerei esses três algarismos como a,b e c onde {ab,ac,ba,bc,ca,cb} seria o seis números mas não consigo sair daqui, alguém pode me ajudar por favor.

obs: peço que não coloquem a resolução quero mesmo é a ideia de como resolver.

[LuizAquino]

boa noite, estou tentando resolver esse exercício faz algum tempo mas ainda não compreendi como mostrar segue o exercício abaixo:

Fixe três algarismos distintos e diferentes de zero.Forme os seis números com dois algarismos distintos tomados dentre os algarismos fixados.Mostre que a soma desses números é igual a 22 vezes a soma dos três algarismos fixados.

considerei esses três algarismos como a,b e c onde {ab,ac,ba,bc,ca,cb} seria o seis números mas não consigo sair daqui, alguém pode me ajudar por favor.

obs: peço que não coloquem a resolução quero mesmo é a ideia de como resolver.

Dica

Um número de dois algarismos no formato xy na base decimal, pode ser reescrito como 10x + y.

Por exemplo, o número 28 pode ser reescrito como 2*10 + 8.

[matmatco]

não entendi seu raciocinio

[LuizAquino]

não entendi seu raciocinio

Suponha que a = 2, b = 4 e c = 6. Neste caso, você teria o conjunto {24, 26, 42, 46, 62, 64}. Note que você pode reescrever este conjunto como sendo {2*10 + 4, 2*10 + 6, 4*10 + 2, 4*10 + 6, 6*10 + 2, 6*10 + 4}. Agora note o que acontece quando você soma estes números:

(2*10 + 4) + (2*10 + 6) + (4*10 + 2) + (4*10 + 6) + (6*10 + 2) + (6*10 + 4) = 2*(10 + 10 + 1 + 1) + 4*(1 + 10 + 10 + 1) + 6*(1 + 1 + 10 + 10)
= 2*22 + 4*22 + 6*22
= (2 + 4 + 6)*22

[matmatco]

Suponha que a = 2, b = 4 e c = 6. Neste caso, você teria o conjunto {24, 26, 42, 46, 62, 64}. Note que você pode reescrever este conjunto como sendo {2*10 + 4, 2*10 + 6, 4*10 + 2, 4*10 + 6, 6*10 + 2, 6*10 + 4}. Agora note o que acontece quando você soma estes números:

(2*10 + 4) + (2*10 + 6) + (4*10 + 2) + (4*10 + 6) + (6*10 + 2) + (6*10 + 4) = 2*(10 + 10 + 1 + 1) + 4*(1 + 10 + 10 + 1) + 6*(1 + 1 + 10 + 10)
= 2*22 + 4*22 + 6*22
= (2 + 4 + 6)*22[/quote]

agora entendi mas fiquei com duvida de como vc encontrou esse 1 : 2*(10 + 10 + 1 + 1) + 4*(1 + 10 + 10 + 1) + 6*(1 + 1 + 10 + 10)

[LuizAquino]

agora entendi mas fiquei com duvida de como vc encontrou esse 1 : 2*(10 + 10 + 1 + 1) + 4*(1 + 10 + 10 + 1) + 6*(1 + 1 + 10 + 10)

Por exemplo, observe os números 2 em destaque:

(2*10 + 4) + (2*10 + 6) + (4*10 + 2) + (4*10 + 6) + (6*10 + 2) + (6*10 + 4)

Agora responda: o que acontece se você colocar esses números em evidência? E se você colocar 4 em evidência? E quanto ao 6 em evidência?

[matmatco]

me desculpe mas ainda não entendi essa parte, tentei resolver usando sua ideia :

a,b e c distintos
o produto seria {ab,ac,ba,bc,ca,cb} reescrevendo seria a*(10+10+b+c)+b*(10+10+a+c)+c*(10+10+a+b) até aqui entendi mas como fazer aparecer esse número 1?

[LuizAquino]

me desculpe mas ainda não entendi essa parte, tentei resolver usando sua ideia :

a,b e c distintos
o produto seria {ab,ac,ba,bc,ca,cb} reescrevendo seria a*(10+10+b+c)+b*(10+10+a+c)+c*(10+10+a+b) até aqui entendi mas como fazer aparecer esse número 1?

A ideia não é esta que você escreveu.

Considerando o conjunto {ab, ac, ba, bc, ca, cb}, podemos colocá-lo no formato {10a + b, 10a + c, 10b + a, 10b + c, 10c + a, 10c + b}. Somando estes números, ficamos com:

(10a + b) + (10a + c) + (10b + a) + (10b + c) + (10c + a) + (10c + b)

Em seguida, note que colocando a em evidência ficamos com:

a(10 + 10 + 1 + 1) + b + c + 10b + 10b + c + 10c + 10c + b

Agora pense no seguinte: o que acontece ao colocar b em evidência? E ao colocar c em evidência?

Observação

Você também pode pensar da seguinte forma:

(10a + b) + (10a + c) + (10b + a) + (10b + c) + (10c + a) + (10c + b) = (10a + 10a + a + a) + (b + 10b + 10b + b) + (c + c + 10c + 10c)
= 22a + 22b + 22c
= 22(a + b + c)

[matmatco]

agora sim entendi, muito obrigado