[PA] Uma dúvida numa questão de PA

por **rochadapesada** » Qui Abr 04, 2013 22:08

Estou em dúvida na seguinte questão:

Dos números inteiros do intervalo [1,100], calcule a soma daqueles que não são múltiplos de seis (6), nem de oito (8).

Eu tentei fazer de todos o jeitos, mas não conseguir, achei os múltiplos de 6 e de 8, mas não conseguir desenvolver no que encontrei...

Me ajudem por favor...

por **DanielFerreira** » Dom Abr 07, 2013 13:11

rochadapesada,
bom dia!
É uma questão bem trabalhosa! :-D

Vou deixar as dicas, mas, caso não consiga retorne com as dúvidas e resolvemos juntos, ok?!
Ahhh! Não é tão trabalhosa como pensei, pois o intervalo não é dos maiores.

Segue a resolução:

Múltiplos de 6 naquele intervalo: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96};

Múltiplos de 8 naquele intervalo: {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96};

Apliquemos uma P.A para saber a soma dos termos acima.

Múltiplos de 6:
$\\ \boxed{S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}} \\\\ S_n = \frac{(6 + 96)16}{2} \\\\ \boxed{\boxed{S_n = 816}}$

Múltiplos de 8:
$\\ \boxed{S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}} \\\\ S_n = \frac{(8 + 96)12}{2} \\\\ \boxed{\boxed{S_n = 624}}$

Aos múltiplos de 8, devemos subtrair aqueles que são comuns aos múltiplos de 6; e eles também formam uma P.A, por isso:
Múltiplos de $6 \cap 8$ :
$\\ \boxed{S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}} \\\\ S_n = \frac{(24 + 96)4}{2} \\\\ \boxed{\boxed{S_n = 240}}$

Portanto, a soma dos múltiplos de 6 e de 8 é:
$\\ 816 + 624 - 240 = \\ \boxed{\boxed{\boxed{1200}}}$

Encontremos agora a soma TOTAL do intervalo, que também forma uma P.A, daí:

$\\ \boxed{S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}} \\\\ S_n = \frac{(1 + 100)100}{2} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{S_n = 5050}}}$

Por fim, a soma daqueles que não são múltiplos de 6 é dada pela subtração entre o TOTAL e os múltiplos de 6 e 8.

Com efeito,

$\\ 5050 - 1200 \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{3850}}}}}$