valores das constantes a e b

por **Douglas16** » Dom Mar 31, 2013 16:36

Determinar os valores das constantes

e

de tal forma que

$\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}=\frac{-cos\left(2x \right)+asen\left(x \right)+b}{{\left(x-\frac{\pi}{2} \right)}^{4}}$ exista.

Depois, calcular o limite.

A única conclusão ou informação que consegui até agora é que b=-(a+1), isso vem do fato que para o valor limite existir, uma das condições é que tanto o limite do denominador quanto do numerador devem ser igual a zero, e a outra condição é a expressão seja tal que através do $\lim_{x\rightarrow0} \frac{sen\left(x \right)}{x}=1$ eu possa eliminar a indeterminação $\frac{0}{0}$ , ou seja eliminar ${\left(x-\frac{\pi}{2} \right)}^{4}$ .

Mas não vejo uma forma de fazer isso.
Tentei fazer a substituição: $t=\left(x-\frac{\pi}{2} \right)$ , mas ainda não vejo uma saída.

por **Douglas16** » Dom Mar 31, 2013 19:31

A expressão do numerador pode ser fatorada como: $2*sen{\left(x-1 \right)}^{2}$ , admitindo x=-4.

por **e8group** » Dom Mar 31, 2013 20:23

Considere : $x - \pi/2 = k$ quando $x\to \pi/2 , k\to 0$ .

O limite a ser calculado será então : $\lim_{k \to 0} \frac{-cos(2k +\pi) + asin(k + \pi/2) + b}{k^4}$ ou $\lim_{k \to 0} \frac{cos(2k) +a \cdot cos(k)+b }{k^2}$ ou $\lim_{k \to 0} \frac{cos^2(k) - sin^2(k) + acos(k) + b}{k^2}$ ou ainda , $\lim_{k \to 0} \frac{1 + b + acos(k) - 2sin^2(k) }{k^2}$ .

Mas, $cos(k) = cos(2 \cdot k/2) = cos^2(k/2) - sin^2(k/2) = 1 - 2sin^2(k/2)$ , então :

$\lim_{k \to 0} \frac{1 + b + acos(k) - 2sin^2(k) }{k^2} = \lim_{k \to 0} \frac{1 + b + a - 2asin^2(k/2) - 2sin^2(k) }{k^2}$

vemos então que o limite existe se ,e somente se , 1 + b + a = 0

(Por quê ?)

Ou seja ,dado um

(ou

) real ,temos que b = -(1+a)

(ou

.) .Nestas condições o limite existirá .

por **Douglas16** » Dom Mar 31, 2013 22:44

Isso eu sei.
Mas considerando que a expressão do numerador pode ser fatorada como uma expressão quadrática em dois fatores:

Considerando X= $sen\left(x \right)$ , tenho que: 2X²+aX-(a+2)=(2X+a+2)(X-1) (expressão 1)

Logo vejo que o fator que possui a constante a, só zera quando a=-4 e usando este valor para encontrar o de b=3, sei que esse são os valores constantes, mas não sei como e porquê.
Para mim, o valor de a na expressão 1, deve ser tal que contenha o fator k^4, para eliminar a indeterminação.
Depois fazer a resolução para encontrar o valor limite.

por **e8group** » Dom Mar 31, 2013 23:41

Na minha opinião ,sua solução não faz sentido ,qual finalidade de adotar este método ? Além do mais ,no denominador temos um polinômio enquanto no numerador não,portanto, não faz sentido a seguinte frase :

Douglas16 escreveu:Para mim, o valor de a na expressão 1, deve ser tal que contenha o fator k^4, para eliminar a indeterminação.
Depois fazer a resolução para encontrar o valor limite.

É isso ,caso dúvidas retorne .

por **Douglas16** » Seg Abr 01, 2013 02:16

Quanto ao polinômio, o correto é que eu teria de dizer: Deve-se eliminar a indeterminação $\frac{0}{0}$ , eliminando ou assimilando por alguma identidade o termo ${\left(x-\frac{\pi}{2} \right)}^{4}$ .

Agora veja se estou resolvendo corretamente:

Para que o limite exista:

(1) $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}} \left(-cos\left(2x \right)+a*sen\left(x \right)+b \right)=0$ (equação 1)

Portanto 1+a+b=0

, $b=-\left(a+1 \right)$ (equação 2)

(2) Deve-se eliminar a indeterminação $\frac{0}{0}$ , eliminando ou assimilando por alguma identidade o termo ${\left(x-\frac{\pi}{2} \right)}^{4}$ .

Fazendo a substituição da equação 2 na equação 1:

$-cos\left(2x \right)+a*sen\left(x \right)-\left(a+1 \right)= 2{sen}^{2}\left(x \right)+a*sen\left(x \right)-\left(a+2 \right)$

Fazendo X= $sen\left(x \right)$ , tenho que:

2X²+

*X- $\left( a +2\right)$ =(2X+a+2)(X-1) (equação 3)

Se X-1= $sen\left(x \right)-1$ e ${sen}^{2}\left(x \right)$ -1= $-{cos}^{2}\left(x \right)$ e $-\frac{{cos}^{2}\left(x \right)}{{\left(x-\frac{\pi}{2} \right)}^{2}}\frac{1}{sen\left(x \right)+1}=\frac{{sen}^{2}\left(x \right)-1}{{\left(x-\frac{\pi}{2} \right)}^{2}}\frac{1}{sen\left(x \right)+1}$

e de $t=\left(x-\frac{\pi}{2} \right)$ , portanto $x=\left(t+\frac{\pi}{2} \right)$ (equação 4),

Portanto: $-\frac{cos\left(x \right)}{x-\frac{\pi}{2}}=-\frac{cos\left(x \right)}{\left(x-\frac{\pi}{2} \right)}=-\frac{cos\left(t+\frac{\pi}{2} \right)}{t}=-\frac{sen\left(t \right)}{t}=-1$

Assim (equação 3)/ ${\left(x-\frac{\pi}{2} \right)}^{4}$ , fica: [(2X+a+2)/ ${\left(x-\frac{\pi}{2} \right)}^{2}$ ]* $\left(-\frac{1}{sen\left(x \right)+1} \right)$

E para que o limite exista 2X+a+2=0 quando $x\rightarrow\frac{\pi}{2}$ , portanto a=-4 e b=3.

Portanto o limite é $\lim_{t\rightarrow0} 2*{\frac{sen\left(t \right)}{t}}^{2}*{\left(\frac{1}{sen\left(x +1\right)} \right)}^{2}=\frac{1}{2}$ .

Concluindo: a=-4

e

. O valor do limite é $\frac{1}{2}$ .

por **e8group** » Seg Abr 01, 2013 13:31

Agora que observei que cometi um equívoco ,na verdade é $(x - \pi/2)^4$ e não $(x - \pi/2)^2$ ,fazendo $k = x - \pi/2$ fica no denominador k^4

e não

.Caso fosse $(x - \pi/2)^2$ no denominador ,fixado $b = -(a+1) , \forall a\in \mathbb{R}$ o limite sempre existiria, como mostra o wolframalpha : http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... to++pi%2F2 , como não é o caso ,temos que impor mais condições sobre "a" e "b" .Peço desculpas pelo equívoco , parabéns pela dedicação a questão ,concluiu corretamente .