[Integral] Volume de Esfera

por **klueger** » Ter Mar 19, 2013 13:58

Não sei deduzir esta fórmula... alguém pode ajudar?

O volume de um esfera de raio

é dado por $V = \frac{4}{3}.pi.r^3$ .

Com o estudo de integrais podemos provar que realmente esta fórmula do volume é verdadeira, basta pensar que uma esfera de raio R é gerada pela rotação em torno do eixo x da circunferência x^2+y^2=r^2

.

Sendo assim usando os conceitos de volume de sólido de revolução prove a fórmula do volume da esfera

por **e8group** » Ter Mar 19, 2013 17:06

Solução :

$x^2 + y^2 = r \iff y^2 = r^2 - x^2 , - r \leq x \leq r$ .

$V = \pi \int_{-r}^r y^2 dx = 2\pi \int_{0}^r(r^2 - x^2) dx$

Tente concluir ...

por **nakagumahissao** » Ter Mar 19, 2013 17:13

Resolução:

Demonstração:

Considere uma circunferência definida por:

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$

Considere ainda, que iremos 'rotacionar' em torno do eixo x apenas a parte do círculo situada no primeiro quadrante do gráfico, ou seja:

$y = \sqrt[]{r^{2} - x^{2}}$ e x =[0, r]

Como rotacionaremos apenas a parte do círculo do nosso primeiro quadrante, após termos calculado o volume da figura rotacionada no gráfico, teremos então que multiplicá-lo por 2 para termos o volume total. Desta maneira:

$V = 2\pi\int_{0}^{r} \left[\sqrt[]{r^{2} - x^{2}} \right]^{2} dx = 2\pi\int_{0}^{r} r^{2} - x^{2} dx =$
$= 2\pi \left( \int_{0}^{r} r^{2} dx - \int_{0}^{r} x^{2} dx \right) = 2\pi\left(r^{3} - \frac{r^{3}}{3} \right) =$
$= 2\pi \left(\frac{3r^{3} - r^{3}}{3} \right)$
$V = \frac{4\pi r^{3}}{3}$

Como queríamos demonstrar.

[Integral] Volume de Esfera

[Integral] Volume de Esfera

[Integral] Volume de Esfera

Re: [Integral] Volume de Esfera

Re: [Integral] Volume de Esfera

Quem está online