[Integral Definida] Denominador c/ fator x e raiz de binômio

por **Matheus Lacombe O** » Dom Mar 17, 2013 17:35

- Mais uma, de tantas outras intermináveis listas de exercícios e eis que surge-me uma dúvida comum entre esta a a lista de exercícios anterior. Simplesmente não consigo resolver o exercício, sempre que me deparo com o padrão descrito a seguir:

$\int_{a}^{b}\frac{dx}{x.\sqrt[]{{x}^{2}-b}}$

- Bom, segue a seguir como eu tentei resolver um problema prático que cai neste padrão - sem sucesso:

Cálculo 8ºed, HOWARD Anton, p.407:

$23) \int_{\sqrt[]{2}}^{2}\frac{dx}{x.\sqrt[]{{x}^{2}-1}}$

- Realizando a substituição:

$u=\sqrt[]{{x}^{2}-1}$

$u={({x}^{2}-1)}^{\frac{1}{2}}$

- Encontrando 'x' em termos de 'u':

$u=\sqrt[]{{x}^{2}-1}$

${u}^{2}={x}^{2}-1$

${u}^{2}+1={x}^{2}$

$x=\sqrt[]{{u}^{2}+1}$

- Ajustando 'du':

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}.{({x}^{2}-1)}^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}.\frac{1}{{({x}^{2}-1)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2.{({x}^{2}-1)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2.\sqrt[]{{x}^{2}-1}}$

$du=\frac{dx}{2.\sqrt[]{{x}^{2}-1}}$

$dx=du.2.\sqrt[]{{x}^{2}-1}$

dx=du.2u

- Ajustando limite inferior:

$para: x=\sqrt[]{2}$

$u=\sqrt[]{{(\sqrt[]{2})}^{2}-1}$

$u=\sqrt[]{2-1}$

$u=\sqrt[]{1}$

u=1

- Ajustando limite superior:

para: x=2

$u=\sqrt[]{{2}^{2}-1}$

$u=\sqrt[]{4-1}$

$u=\sqrt[]{3}$

- Conclui-se então, que (considerando 'x' em termos de 'u'):

$\int_{\sqrt[]{2}}^{2}\frac{dx}{x.\sqrt[]{{x}^{2}-1}}=\int_{1}^{\sqrt[]{3}}\frac{du.2u}{\sqrt[]{{u}^{2}+1}.u}$

$2.\int_{1}^{\sqrt[]{3}}\frac{du}{\sqrt[]{{u}^{2}+1}}$

- Sabendo que:

$\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt[]{{a}^{2}-{x}^{2}}}=arcsen\left(\frac{x}{a}\right)$

- Comparamos essa integral tabelada com a integral do problema, tendo que:

${a}^{2}={u}^{2}$

$\sqrt[]{{a}^{2}}=\sqrt[]{{u}^{2}}$

a=u;

${x}^{2}=1$

$x={1}^{2}$

x=1;

- Então:

$2.\int_{1}^{\sqrt[]{3}}\frac{du}{\sqrt[]{{u}^{2}+1}}=\left[2.arcsen\left(\frac{1}{u} \right) {{\right]}_{1}}^{\sqrt[]{3}}$

- Resolvendo a integral entre este intervalo:

$\left[2.arcsen\left(\frac{1}{\sqrt[]{3}} \right)\right]-\left[2.arcsen\left(\frac{1}{1} \right) \right]$

$\left(2.35,26 \right)-\left(2.90 \right)$

70,52-180

- Porém, a resposta do gabarito é: $\frac{\pi}{12}$

- E agora, gente? Quem poderá me socorrer?

Grato, desde já.
Att. Matheus L. Oliveira

por **Matheus Lacombe O** » Seg Mar 18, 2013 17:29

Alguém?

por **Matheus Lacombe O** » Qua Mar 20, 2013 13:25

Sério gente, por favor, alguem da uma força ai. La na sala tava todo mundo dizendo que essa questão era impossível. A professora até anulou da lista. Mas eu queria saber.