[Integral Indefinida] Método por Substituição

por **Matheus Lacombe O** » Sáb Mar 02, 2013 23:54

- Olá pessoal! Cá estou eu, mais uma vez. Pois bem. Tenho uma lista com setenta exercícios do livro Calculo(Howard Anton) para resolver. Resolvi sem problema os primeiros exercícios, porém, chegando ao nº6 encontrei uma dificuldade que parece ser comum a todos os itens deste exercício: depois de aplicar a substituição eu termino com uma expressão onde não consigo mais integrar, pois não é possível "trazer o denominador para cima".

nº6) Item c)

$\int_{}^{}\frac{1}{x\sqrt[]{9{x}^{2}-1}}dx$

$u=3x \rightarrow x=\frac{u}{3}$

$\frac{du}{dx}=3$

du=3dx

$dx=\frac{du}{3}$

$\int_{}^{}\frac{1}{\frac{u\sqrt[]{{u}^{2}-1}}{3}}.\frac{du}{3}$

$\int_{}^{}\frac{1}{1}.\frac{3}{u\sqrt[]{{u}^{2}-1}}.\frac{du}{3}$

$\int_{}^{}\frac{1}{u\sqrt[]{{u}^{2}-1}}.du$

- Paro nesta parte. Em suma, todos os itens do nº6 parecem dar neste mesmo problema. Eu não consigo tirar o $u\sqrt[]{{u}^{2}-1}$ do denominador e continuar.

Desde já grato pela atenção. Abraços.

Cordialmente, Matheus L. Oliveira.

por **e8group** » Dom Mar 03, 2013 16:02

Boa tarde ,parece ser mais prático o desenvolvimento da questão caso faça a substituição $\sqrt{9x^2 -1} = u$ ;daí derivando ambos membros em relação x ,obtemos : $\frac{9x}{\sqrt{9x^2-1}}dx =du$ .

Deste modo fazendo as devidas substiuições ,temos

$\frac{1}{9 }\int \frac{du}{\dfrac{u^2+1}{9}}$

Consegue concluir ?

por **Matheus Lacombe O** » Dom Mar 03, 2013 17:19

Sim, sim. O problema é que o exercício do Anton pede pro sujeito utilizar "u=3x". Dai da problema

por **e8group** » Dom Mar 03, 2013 18:15

Ok.,neste caso recomendo que faça $s = \sqrt{u^2-1}$ .Tente concluir .

OBS.: Veja que $(tan^{-1} (x) )' = \frac{1}{x^2+1}$ .

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