[EDO] Ajuda

por **MrJuniorFerr** » Sáb Fev 16, 2013 15:03

Boa tarde pessoal. Ontem, meu professor de Física 2 apresentou uma EDO, e disse que quem resolvesse e explicasse a solução perante a sala, ganharia uma nota a mais na média.
Eu faço também a disciplina EDO, mas até o momento eu aprendi: Quadratura, Mudança de variáveis, PVI, aplicações, equações homogêneas de classe A e C.

Foi nos dado a seguinte EDO:

$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0$

Não me recordo de ter aprendido tal EDO e nem mesmo sei o nome dela.

Com o que eu aprendi até o momento, eu consigo resolvê-la?
Alguém pode me ajudar nessa EDO?
Obrigado.

por **young_jedi** » Dom Fev 17, 2013 10:17

kara neste tipo de EDO de segunda ordem agente supoe que ela tem uma solução do tipo exponecial

$x=A.e^{r.t}$

ai calculamos as derivadas de primeira e segunda ordem

$x'=A.r.e^{rt}$

$x''=A.r^2.e^{rt}$

substittuindo na EDO

$A.r^2.e^{rt}+\frac{b}{m}.A.r.e^{rt}+\frac{k}{m}.A.e^{rt}=0$

reagrupando

$A.e^{rt}.\left(r^2+\frac{b}{m}.r+\frac{k}{m}\right)=0$

para que esta equação seja valida para qualquer valor de t, nos temos que oque esta dentro do parantese deve ser igual a 0

$r^2+\frac{b}{m}.r+\frac{k}{m}=0$

esta é uma equação do 2 grau onde nosso objetivo é encontrar o valor de r.
no entanto precisamos conhecer k e m.

econtrariamos assim duas raizer para r e portanto duas soluções do tipo expoencial, com isso poderiamos escrever a solução geral da equação

por **MrJuniorFerr** » Dom Fev 17, 2013 18:10

Entendi Young_jedi.
Achei a solução deste caso particular na internet.
Obrigado.

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