[Probabilidade] Questão interessante.

por **Russman** » Qui Jan 17, 2013 19:21

Achei esta questão interessante pelo mix de probabilidade e geometria e pensei em compartilhar com vocês.

por **young_jedi** » Sex Jan 18, 2013 12:07

o lado do hexagono mede x

assim sua area é

$A=\frac{x^2.3.\sqrt3}{2}$

ja o lado do triangulo pode se calculado por

$l^2=\left(\frac{x\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{x\sqrt3}{2}\right)^2-2.\left(\frac{x\sqrt3}{2}\right).\left(\frac{x\sqrt3}{2}\right).cos(120^o)$

$l=\frac{3x}{2}$

portanto a area do triangulo é

$A_t=\frac{9.x^2.\sqrt3}{16}$

a area fora do triangulo é igual a

$A=\frac{x^2.3.\sqrt3}{2}-\frac{9.x^2.\sqrt3}{16}=\frac{15x^2\sqrt3}{16}$

então a probabilidade sera

$P=\frac{15x^2\sqrt3}{16}.\frac{2}{x^2.3.\sqrt3}=\frac{10}{16}$

$P=62,5\%$

por **ant_dii** » Sex Jan 18, 2013 16:39

É interessante este problema... O lado probabilidade somente serve para enfatizar o lado geometria do problema.

Veja que se você chamar de

o lado do Hexágono, a área do Hexágono será a área de seis triângulos equiláteros que o compõe, uma vez que este é regular. Logo, teremos que há seis triângulos de lados medindo $l,\, \frac{l}{2},\, h$ ... onde h é a altura de um dos triângulos que compõe o Hexágono regular que coincide com sua apótema, ou seja, a_H=h

... Logo a área de um dos triângulos será $\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$ ... Portanto a área do Hexágono será

$A_H=6\frac{\sqrt{3}}{4}l^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}l^2$

Considerando a circunferência inscrita ao Hexágono e circunscrita ao Triângulo equilátero, seu raio é igual a apótema do Hexágono, ou seja, r=h

.
Temos que a apótema do Triângulo (

) mede $\frac{1}{3}$ da altura do Triângulo ( h_T

), ou seja, $a=\frac{1}{3}h_T$ (essa é uma propriedade dos triângulos equiláteros onde o Ortocentro coincide com o Baricentro). Mas o raio da circunferência mede $\frac{2}{3}$ da altura do Triângulo equilátero dado, ou seja, $r=\frac{2}{3}h_T$ .

Destas afirmações temos que $a=\frac{r}{2}$ .

Considerando que o Triângulo equilátero tem lado

, temos que a área é $A_T=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$ .

Nosso objetivo é determinar a área do Triângulo equilátero em função do raio da circunferência. Temos que:
$r=\frac{2}{3}h_T$

Logo,
$h_T=\frac{3}{2}r$

Como $h_T=\frac{x\sqrt{3}}{2}$ , obtemos a seguinte igualdade:

$\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}r \Rightarrow 3r=x\sqrt{3} \Rightarrow x=r\sqrt{3}$

Logo, a área do Triângulo equilátero em função do raio da circunferência é
$A_T=\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$

O objetivo agora é colocar a área do Triângulo equilátero em função do lado do Hexágono.

Como r=h

(lá do início) e $h=\frac{l\sqrt{3}}{2} \Rightarrow$ , temos
$A_T=\frac{9\sqrt{3}}{16}l^2$

Logo, a área que o dardo pode acertar é dada fazendo A_H-A_T

, então

$A_H-A_T=\frac{3\sqrt{3}}{2}l^2-\frac{9\sqrt{3}}{16}l^2=\left(\frac{3}{2}-\frac{9}{16}\right)\sqrt{3}l^2=\left(\frac{15}{16}\right)\sqrt{3}l^2$

Como a probabilidade é feita fazendo $\frac{A_H-A_T}{A_H}$ , temos

$P=\frac{A_H-A_T}{A_H}=\frac{\left(\frac{15}{16}\right)\sqrt{3}l^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}l^2}=\left(\frac{15}{16}\right)\cdot \frac{2}{3}=\frac{5}{8}$

Portanto, a probabilidade de acertar o dardo fora do triângulo é 62,5%.

por **Russman** » Sex Jan 18, 2013 20:03

Boooa, amigos!

Achei muito interessante essa questão também. O pessoal do Instituto de Matemática que fez essa prova é sempre muito criativo.
Se eu conseguir mais questões legais como essa eu compartilho com vocês.