Derivada

por **Raiza_J-** » Qui Jan 10, 2013 17:50

Por favor, me ajudem.

Eu não tou conseguindo derivar essa função:

$Y = e^{sin(2x)}.ln(x^2+2x).3^x$

Eu pensei na Regra da Cadeia, mas não sei se posso aplicá-la...

por **e8group** » Qui Jan 10, 2013 19:20

Note que $e^{sin(2x)} ln(x^2 +2x)3^x = e^{sin(2x) + x\cdot ln(3)} ln(x^2 + 2x)$ pois $3^x = e^{ln(3^x)} = e^{xln(3)}$ .Utilizando a propriedade $a^c \cdot a^b = a^{c+b}$ chega-se na igualdade .

Para derivar , utilize primeiro a regra do produto , e logo em seguida utilize regra da cadeia .

Qualquer duvida só postar .

por **Raiza_J-** » Sex Jan 11, 2013 23:34

Na resolução oficial tem a seguinte resposta:

$y'= e^{sin(2x)}.cos(2x).ln(x^2 +2x)3^x + e^{sin(2x)}.\frac{2x+2}{x^2+2x} + e^{sin(2x)}.ln(x^2 +2x).3^x.ln(3)$

mas como você me falou que ln(3^x)=e^[ln(3^x)}

então minha resposta deu assim:

Pela definição do livro de Stewart: (f.g)'=f.g' + gf'

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 6 ]

por **Raiza_J-** » Sex Jan 11, 2013 23:39

Minha resposta:
$y'=e^{sin(2x).x.ln(3)}.\frac{2x+2}{x^2 +2x} + ln(x^2 +2x).e^{sin(2x).x.ln(3)}.cos(2x).2.1.ln(3)$

por **e8group** » Sáb Jan 12, 2013 14:27

Boa tarde ,sua resposta parece correta .Só houve um erro na digitação . Ao invés de você digitar sin(2x) + xln(3)

digitou $sin(2x) \cdot xln(3)$ .Para chegar no gabarito , basta notar que $e^{sin(2x) + ln(3^X)} = e^{sin(2x)} \cdot e^{ln(3^x)} = e^{sin(2x)} 3^{x}$ .

Dica :

Exercícios como este ,recomendo que reescreva a função incial por composição de funções .

Exemplo , dada a função

definida por f(x)= ln( x^2 + 1)

.

Perceba que por meios das funções g_1

e

. Onde :

$g_1 : x \mapsto ln(x)$ ; $g_2 : x\mapsto x^2 + 1$ .

Vamos ter ,

$f(x) = g_1(g_2(x)) = (g_1 \circ g_2 )(x)$ .

Obs.: Neste caso a imagem da função g_2

é estar contida no domínio da função g_1

. Isto significa que o domínio da função $f = g_1 \circ g_2$ será o da g_2

. Estou deixando isto claro porque nem sempre isto ocorrerá . Mas ,lembre-se , dada função composta $f\circ g$ temos $D_{f\circ g} = D_f \cap Im_{g}$ .

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