Integrais Indefinidas

por **manuel_pato1** » Qui Jan 03, 2013 17:48

Olá pessoal, sem querer ser repetitivo em criar tópicos para cada integral dessa minha dúvida, postarei as 3 nesse tópico, ok?

a) $\int (3^x)(e^x)dx$
b) $\int 15x^4/ \sqrt[]{1-x^10}dx$ ( x elevado na 10)
c) $\int {6}^{2x} ln(6) dx$

na letra A , tentei chamar u=x, logo, du=dx... que com os ajustes, me resultou em : $\int {3e}^{u}du$ ... mas a resposta daria $\int 3e^x/ln(3)*ln(e)$ , porém a resposta correta é 3e^x/ln(3) + 1

na letra B, o x elevado na 10, eu separei em (x^2)*(x^2)*(x^2)*(x^2)*(x^2) e tirei da raíz ficando x^4 multiplicando a raiz de 1 - x^2... Aí cortei o x^4 que eu tirei da raiz com o x^4 que multiplica o 15 no numerador, enfim... a resposta que cheguei foi 15 arc sin(x) + c e no gabarito é: 3arc sin(X/5)

na letra C, eu realmente não sei começar essa , mas a respota correta é (6^2x)/2 + C

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Desde já, muito obrigado

por **Russman** » Qui Jan 03, 2013 18:33

Sempre que você se deparar com esses produtos a^xe^x

em integrais tente colocá-lo em uma unica base, no caso a base

.
Use a identidade $e^{\ln a}=a$ de forma que $a^x = \left (e^{\ln a} \right )^x = e^{x\ln a}$ . Assim:

$3^xe^x = e^{x\ln 3 }e^x = e^{x\ln 3 + x} = e^{x(\ln 3 +1)}$ .

Agora temos uma integral na forma $\int e^{bx}dx$ onde

é uma constante e, no caso, $b =\ln 3 +1$ . Agora, faça u=bx

de forma que $dx = \frac{du}{b}$ e então

$\int e^{x(\ln 3 + 1)}dx = \int e^u \frac{du}{\ln 3 + 1} = \frac{1}{\ln 3 + 1}\int e^u du = \frac{1}{\ln 3 + 1} e^u + c =$

$=\frac{e^{x(\ln 3 +1)}}{\ln 3 + 1}+c=$

$= \frac{3^x e^x}{\ln 3 +1}+c$