[Integração por substituição] Passo a passo, por favor?

por **Ronaldobb** » Seg Dez 17, 2012 16:24

1. $\int_{}^{}\frac{dx}{2+2\sqrt[]{x}}$

Minhas contas:

$u=\sqrt[]{x}; \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt[]{x}}; du=\frac{1}{2\sqrt[]{x}}dx; 2\sqrt[]{x}du=dx$

$=\int_{}^{}\frac{2u}{2+2u}du$

$=2\int_{}^{}\frac{u}{2+2u}du$

Cheguei até aí em cima, e não consegui desenvolver mais a conta, pois estão me faltando conhecimentos. Fui no Wolfram e ele me deu o seguinte resultado:

$=2\int_{}^{}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2(u+1)} \right)du$

De onde saiu esse sinal de negativo no integrando? e pra onde fou o

que estava no numerador?

$=2\int_{}^{}\frac{1}{2}du-\int_{}^{}\frac{1}{u+1}du$

E depois parece que o Wolfram fez mais outra substuição:

s=u+1; ds=du

$=2\int_{}^{}\frac{1}{2}du-\int_{}^{}\frac{1}{s}ds$

Aí fica fácil resolver, usando a tabela...

Poderiam me ajudar a entender essa substituição? Principalmente na parte em que aparece um sinal de negativo no integrando?

por **young_jedi** » Ter Dez 18, 2012 10:33

quando voce tem

$\frac{2u}{2+2u}$

voce tem que aplicar um conceito chamado frações parciais, se voce ainda não viu é melhor dar uma pesquisada e estudar
mais em todo quase essa expressão pode ser desenvolvida assim

$\frac{2u}{2+2u}=\frac{2u+2-2}{2+2u}$

somando e subtraindo 2 na expressão eu não altero o seu valor

e ainda pode se separar ela

$\frac{2u+2-2}{2+2u}=\frac{2u+2}{2u+2}-\frac{2}{2+2u}$

simplificando ainda mais

$\frac{2u+2}{2u+2}-\frac{2}{2+2u}=1-\frac{1}{1+u}$

substituindo na integral

$\int\left(1-\frac{1}{1+u}\right)du$

$\int du-\int\frac{1}{1+u}du$

por **Ronaldobb** » Ter Dez 18, 2012 12:14

Faço Administração, e na ementa de Cálculo I pra Administração não tem a matéria de Frações Parciais e a professora falou que nem iria ensinar para nós.

Teria um modo de fazer essa integral sem usar frações parciais?

por **young_jedi** » Ter Dez 18, 2012 13:45

voce pode fazer

$u=2+2\sqrt x$

$du=\frac{2}{2}\frac{1}{\sqrt x}dx$

$\sqrt{x}du=dx$

$\frac{2\sqrt x}{2}du=dx$

$\frac{-2+2+2\sqrt x}{2}du=dx$

$\frac{u-2}{2}du=dx$

substituindo

$\int\left( \frac{u-2}{2u}\right)du$

$\int\left( \frac{-2}{2u}\right)du+\int\left( \frac{u}{2u}\right)du$

$-\int\frac{1}{u}du+\int \frac{1}{2}du$