[Polinômios] Prova da fuvest 2ª fase

[vlopagliuca]

Eu procurei por este exercício nos tópicos mas não achei,se for repetido me desculpem.

O polinômio ,o p(x) = x^4+ax³+bx²+cx-8, em que a, b, c são números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas.

a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes.

Eu comecei procurando fazer uma espécie de simplificação da equação em o que deveria ser um sistema,mas no meio do caminho eu travei.
(1+i)^4 +a(1+i)².(1+i)+b(1+i)²+c(1+i)-8=0
(1+i)².(1+i)²+a(1+i)².(1+i)+b(1+i)²+c(1+i)=8
(2i.2i)+a(2i)(1+i)+b(2i)+c+ci=8
-4+a2i+(-2)a+b2i+c+ci=8
2i(a+b)+(-2)a+c+ci=12

Neste momento eu travei,se puderem me ajudar e e dizer onde errei,ou melhor,como devo começar,seria muito útil.Obrigado!

[young_jedi]

primeiro voce tem que se 1+i é raiz então 1-i tambem é raiz
outra coisa é que possui raizes simetricas ou seja uma raiz n e outra -n

então utilizando as relações de Girard









então as raize simetricas são -2 e 2 e as complexas (1+i) e (1-i) então voce pelas relações de Gerardi pode determinar os demais coeficientes.