[Cálculo] Janela

por **pires_** » Dom Dez 09, 2012 20:35

Uma janela tem a forma dum rectângulo encimado por um semicírculo com o diâmetro igual à base do rectangulo . A parte rectangular é de vidro transparente e a parte circular de vidro de cor que admite por m^2 metade da luz do vidro transparente . O perimetro total da janela é "P" . Determine , em função de "P" , as dimensões da janela que deixará entrar mais luz.

por **young_jedi** » Seg Dez 10, 2012 10:35

um lado do retangulo mede x sendo este a base e tabem o diametro do semi-circulo, o outro ladó mede y
sendo assim a soma dos lados do retangulo com o semi-circulo sera dada pelo perimetro p

$p=2y+x+\frac{\pi.x}{2}$

da onde tiramos

$y=\frac{p}{2}-\frac{x}{2}-\frac{\pi.x}{4}$

agora calculando as areas do retangulo e do semi-circulo

A_r=x.y

$A_r=x.\left(\frac{p}{2}-\frac{x}{2}-\frac{\pi.x}{4}\right)$

e a do semi-circulo

$A_c=\pi.\frac{x^2}{8}$

vamos admitir que no semi-circrulo a quantidade de luz permitida seja q e no retangulo seja 2q, então a quantidade de luz total sera

$Q(x)=q.\pi.\frac{x^2}{8}+2.q.x.\left(\frac{p}{2}-\frac{x}{2}-\frac{\pi.x}{4}\right)$

$Q(x)=q.\pi.\frac{x^2}{8}+q.x.p-q.x^2-\frac{q.\pi.x^2}{2}$

para encontrar seu valor de maximo derivamos com relação a x e igualamos a zero

$Q'(x)=\frac{q.\pi.x}{4}+q.p-q.2x-q.\pi.x$

$\frac{q.\pi.x}{4}+q.p-q.2x-q.\pi.x=0$

como tudo esta multiplicado por q podemos simplificar

$\frac{\pi.x}{4}+p-2x-\pi.x=0$

$p-2x-\frac{3\pi.x}{4}=0$

$x=\frac{p}{2+\frac{3\pi}{4}}$

este é o valor de x agora voce tem que encontra y

por **pires_** » Seg Dez 10, 2012 12:10

como encontro o y ?

por **young_jedi** » Seg Dez 10, 2012 12:58

nas primeiras equações quando relaciona o perimietro com x e y, substitua o valor de x encontrado e ache y, lembr-se de que tanto x como y vão ficar em função de p.

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