Parábola

por **manuel_pato1** » Qui Nov 29, 2012 21:12

Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
a) F(0,0) eixo y=0 e passa por A(3,4)
b) F(0,-1) eixo x=0 e passa por A(4,2)

Então , não entendi muito bem o que fazer nesse exercício.
como o eixo é y= 0 , a parábola é do tipo, y² = 2px , correto?

sendo assim, 4²=2p3 -> p/2= 2/3 então , V(-2/3, 0) ??

mas eu não sei chegar na equação, pois 2p= 8/3

tentei colocar na fórmula: y²= 8/3*(x+2/3)
mas o resultado não chega nem perto do correto

Resposta: a) y² -4x -4=0, (-1,0) , (0,+-2)

por **LuizAquino** » Sex Nov 30, 2012 10:32

manuel_pato1 escreveu:Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
a) F(0,0) eixo y=0 e passa por A(3,4)

(...)

Então , não entendi muito bem o que fazer nesse exercício.
como o eixo é y= 0 , a parábola é do tipo, y² = 2px , correto?

Pense um pouco: se o foco é em (0, 0), então o vértice não pode ser em (0, 0). Sendo assim, como pode a equação ser esta que você escreveu, na qual o vértice seria em (0, 0)?

Na verdade, como o eixo é y = 0 e o vértice não está em (0, 0), então ele está em $(x_v,\,0)$ , com x_v

um número diferente de zero. Sendo assim, a equação será do tipo y^2 = 2p(x - x_v)

ou

(dependendo da concavidade da parábola).

Precisamos então descobrir o valor de p e de x_v

.

No exercício foram fornecidos o foco F = (0, 0) e o ponto A = (3, 4). Por outro lado, sabemos que qualquer ponto de uma parábola é tal que sua distância até o foco é igual a sua distância até a reta diretriz.

Calculando a distância de A até F, obtemos:

$d(A,\,F) = \sqrt{(0 - 3)^2 + (0 - 4)^2} = 5$

Sendo assim, a distância de A até a reta diretriz deve ser 5. Lembrando que o eixo é y = 0, temos que a reta diretriz será do tipo x = k (ou ainda, x - k = 0). Desse modo, temos que:

$d(A,\,r) = 5 \implies \dfrac{|3 - k|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = 5 \implies k = -2 \textrm{ ou } k = 8$

Podemos ter então duas possibilidades para a reta diretriz: (i) x = -2; (ii) x = 8. (Note que isso significa que na verdade o exercício terá duas respostas corretas.)

Possibilidade (i)

Considerando que a reta diretriz seja x = -2, temos que a distância do foco F = (0, 0) até essa reta será 2. Sendo assim, teremos que p = 2. Disso concluímos que o vértice será V=(-1, 0). Além disso, teremos que a concavidade da parábola está voltada para a direita.

Portanto, a equação da parábola será dada por:

$y^2 = 2\cdot 2\cdot [x - (-1)]\implies y^2 - 4x - 4 = 0$

Para determinar a interseção dessa parábola com o eixo x, basta substituir y = 0 na sua equação. Obtemos então o ponto (-1, 0).

Já para determinar a interseção dessa parábola com o eixo y, basta substituir x = 0 na sua equação. Obtemos então os pontos (0, -2) e (0, 2).

Possibilidade (ii)

Considerando que a reta diretriz seja x = 8, temos que a distância do foco F = (0, 0) até essa reta será 8. Sendo assim, teremos que p = 8. Disso concluímos que o vértice será V=(4, 0). Além disso, teremos que a concavidade da parábola está voltada para a esquerda.

Portanto, a equação da parábola será dada por:

$y^2 = -2\cdot 8 \cdot (x - 4)\implies y^2 + 16x - 64 = 0$

Para determinar a interseção dessa parábola com o eixo x, basta substituir y = 0 na sua equação. Obtemos então o ponto (4, 0).

Já para determinar a interseção dessa parábola com o eixo y, basta substituir x = 0 na sua equação. Obtemos então os pontos (0, -8) e (0, 8).

manuel_pato1 escreveu:b) F(0,-1) eixo x=0 e passa por A(4,2)

Tente resolver esse item considerando o procedimento utilizado para o item anterior. Note que nesse caso a equação da parábola será do tipo x^2 = 2p(y - y_v)

ou

(dependendo da concavidade da parábola).

por **manuel_pato1** » Qua Dez 05, 2012 11:40

Sendo assim, a distância de A até a reta diretriz deve ser 5. Lembrando que o eixo é y = 0, temos que a reta diretriz será do tipo x = k (ou ainda, x - k = 0). Desse modo, temos que:

$d(A,\,r) = 5 \implies \dfrac{|3 - k|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = 5 \implies k = -2 \textrm{ ou } k = 8$

Podemos ter então duas possibilidades para a reta diretriz: (i) x = -2; (ii) x = 8. (Note que isso significa que na verdade o exercício terá duas respostas corretas.)

Muito obrigado pela resposta ,cara. Então , meu professor não aceita que distancia de reta a ponto seja feita na fórmula.
Ele pede que façamos através de ponto a ponto.

Aí veio minha dúvida: Qual seria o ponto da diretriz que eu posso fazer D(d,A) ? Eu fiz com o ponto (k,0)

que ficou 5= $\sqrt[2]{(k-3)^2 + (0-4)^2}$

aí eu elevei os dois lados ao quadrado, porém ficou k² - 6k +25 - 25 = 0

mas aí o k resultou em 6 e 0 ...

Se não for pedir muito, teria como tu me dar uma mão? abraço

por **LuizAquino** » Qua Dez 05, 2012 14:41

manuel_pato1 escreveu:Sendo assim, a distância de A até a reta diretriz deve ser 5. Lembrando que o eixo é y = 0, temos que a reta diretriz será do tipo x = k (ou ainda, x - k = 0). Desse modo, temos que:

$d(A,\,r) = 5 \implies \dfrac{|3 - k|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = 5 \implies k = -2 \textrm{ ou } k = 8$

Podemos ter então duas possibilidades para a reta diretriz: (i) x = -2; (ii) x = 8. (Note que isso significa que na verdade o exercício terá duas respostas corretas.)

Muito obrigado pela resposta ,cara. Então , meu professor não aceita que distancia de reta a ponto seja feita na fórmula.
Ele pede que façamos através de ponto a ponto.

Aí veio minha dúvida: Qual seria o ponto da diretriz que eu posso fazer D(d,A) ? Eu fiz com o ponto (k,0)

que ficou 5= $\sqrt[2]{(k-3)^2 + (0-4)^2}$

aí eu elevei os dois lados ao quadrado, porém ficou k² - 6k +25 - 25 = 0

mas aí o k resultou em 6 e 0 ...

Se não for pedir muito, teria como tu me dar uma mão? abraço

Pense um pouco: você sabe que uma reta do tipo x = k é paralela ao eixo y. Desse modo, a distância entre o ponto A = (3, 4) e essa reta, será correspondente a distância entre A e o ponto P = (k, 4) (faça um esboço no plano cartesiano para entender melhor).