Geometria Plana - "Área Máxima"

[raimundoocjr]

01. Num terreno, que tem a forma de um triângulo retângulo com catetos medindo 40 e 50 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y como indicado na figura. Para que a área ocupada pela casa seja máxima, os valores de x e y devem ser, em metros, respectivamente iguais a
A) 20 e 25
B) 24 e 30
C) 25 e 20
D) 30 e 24



A priori não tenho uma base para início.

[Neperiano]

Ola

Não me lembro muito bem como resolver, sei que tenque usar derivada para máximo e minimo, tenque derivar a função que dá essa área, alguma coisa assim

Atenciosamente

[saberdigitalnet]

A figura completa é um "triângulo retângulo" (maior) composto pelo "retâgulo", mais dois triângulos retângulos menores, identicos entre si e proporcionais ao maior. Seria interessante que se fizesse o desenho.

Chamemos de x e y as dimensões do retângulo. Portanto, os catetos dos dois triângulos retângulos T1 e T2 serão, respectivamente: T1: (50 -y) e x; T2: y e (40 - x).

Por semelhança de triângulos, teremos:

T1 com o maior:
(50 - y) / x = 50 / 40 = 1,25
Logo, (50 - y) = 1,25.x (i)

T2 com o maior:
y / (40 - x) = 1,25
Logo, y = 1,25.(40 - x) (ii)

A área do triâgulo maior é: (50.40)/2 = 1000.

A área de T1 é:
AT1 = (50 - y).x / 2 (iii)

Substituindo (i) em (iii):
AT1 = 1,25.x.x /2 = 0,625.x²
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A área de T2 é:
AT2 = (40 - x).y / 2 (ii)

Substituindo (ii) em (iv):
AT2 = (40 - x).1,25.(40 - x) / 2 = 0,625.(40 - x)²

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A área do retângulo pode ser escrita em função de x da seguinte forma:

A(x) = 1000 - (AT1 + AT2)
A(x) = 1000 - [0,625.x² + 0,625.(40 - x)²]

A(x) = 1000 - [0,625.x² + 0,625.(1600 - 80.x + x²)]
A(x) = 1000 - [0,625.x² + 1000 - 50.x + 0,625.x²]
A(x) = 1000 - 1,25.x² - 1000 + 50.x

A(x) = -1,25.x² + 50.x

Onde,

a = -1,25
b = 50
c = 0
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Devemos, agora, determinar o X do vértice, dado pela seguinte expressão:

Xv = - b / 2.a

Xv = - 50 / 2.(-1,25) = 50 / 2,5 = 20

A dimensão y é dada por:

y = 1,25.(40 - x) = 1,25.(40 - 20) = 1,25.(20) = 25.

OPÇÃO LETRA A.

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Professor Elias Celso Galveas
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