[ Integral ] Indireta

por **Paraujo** » Qua Nov 21, 2012 20:35

Fala Galera!

Estou fazendo algumas deduções de Eletromagnetismo, e cheguei numa integral onde não consegui desenvolver:

$\int_{}^{}\frac{dx}{{({a}^{2}+{x}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

A dica nesse caso é que estamos tratando de um triângulo, onde eu posso substituir alguns termos:

$\frac{x}{a} = tan \theta$

Consegui encontrar uma identidade trigonométrica nessa transformação:

${sec}^{2}\theta = 1 + {tan}^{2}\theta$

Depois daí eu não desenvolvi muita coisa...

Obrigado pela atenção,

Paulo

por **MarceloFantini** » Qua Nov 21, 2012 23:50

Fazendo a substituição $x= a \tan \theta$ segue que

$(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}} = (a^2 + a^2 \tan^2 \theta)^{\frac{3}{2}}$

$= a^3 (1 + \tan^2 \theta)^{\frac{3}{2}} = a^3 \sec^3 \theta$

e

$dx = a \sec^2 \theta\, d \theta$ .

Voltando à integral temos

$\int \frac{dx}{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{a \sec^2 \theta\, d \theta}{a^3 \sec^3 \theta}$

$= \frac{1}{a^2} \int \frac{d \theta}{\sec \theta} = \frac{1}{a^2} \int \cos \theta \, d \theta$

$= \frac{\sin \theta}{a^2} + C$ .

Como $x = a \tan \theta$ , então $x = a \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ e $x^2 = a^2 \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = a^2 \frac{\sin^2 \theta}{1 - \sin^2 \theta}$ , logo $a^2 \sin^2 \theta = (1 - \sin^2 \theta) x^2 = x^2 - x^2 \sin^2 \theta$ .

Isolando $\sin^2 \theta$ segue que $\sin^2 \theta (a^2 +x^2) = x^2$ e $\sin^2 \theta = \frac{x^2}{a^2 + x^2}$ . Portanto $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$ .

Substituindo na resposta final,

$\int \frac{dx}{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{a^2 \sqrt{a^2 + x^2}} + C$ .

Você usou a substituição certa, só faltou prosseguir com as contas até o final. :y:

por **Paraujo** » Sex Nov 23, 2012 06:50

Perfeito Marcelo!!!

Muitissimo Obrigado!

Abraços :y:

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