[Integral] integral por frações parciais

por **helioromualdo** » Qua Nov 21, 2012 21:54

So conseguir responder ate o sistema parei ai nao sai do canto mais :/

$\int_{}^{}\frac{{x}^{3}-{3}^{2}+5x-12}{{\left(x-1 \right)}^{2}\left({x}^{2}-3x-4 \right)}$

por **MarceloFantini** » Qua Nov 21, 2012 23:55

Note que podemos fatorar x^2 -3x -4 = (x-4)(x+1)

, portanto o denominador torna-se (x-1)^2 (x-4)(x+1)

.

Quebrando em frações parciais, você terá

$\frac{x^3 -3x^2 +5x -12}{(x-1)^2 (x^2 -3x -4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x-4} + \frac{D}{x+1}$ .

Fazendo o denominador comum no lado direito, teremos

$\frac{A(x-1)(x-4)(x+1) + B(x-4)(x+1) + C(x-1)^2 (x+1) + D(x-1)^2 (x-4)}{(x-1)^2 (x-4)(x+1)}$ .

Agora basta você simplificar o polinômio no numerador e igualar cada coeficiente ao coeficiente correspondente de x^3 -3x^2 +5x -12

.

Ao fazer isto você terá encontrado o que precisa para integrar o lado direito da equação, que é bem simples.

por **helioromualdo** » Qui Nov 22, 2012 17:00

voce tem como resolver o sistema? até ai eu sei so o sistema que eu nao estou conseguindo.

por **MarceloFantini** » Qui Nov 22, 2012 18:12

Resolva as contas por partes:

A(x-1)(x-4)(x+1) = A(x-4)(x^2 -1) = A(x^3 -4x^2 -x +4),

C(x-1)^2 (x+1) = C(x^2 -1)(x-1) = C(x^3 -x^2 -x +1),

e

D(x-1)^2 (x-4) = D(x^2 -2x +1)(x-4) = D(x^3 -6x^2 +9x -4).

Somando e reorganizando os coeficientes temos

(A+C+D)x^3 + (-4A + B - C - 6D)x^2

Igualando coeficientes encontramos o sistema

$\begin{cases} A+C+D = 1, \\ -4A + B - C - 6D = -3, \\ -A -3B -C +9D = 5, \\ 4A -4B + C -4D = -12. \end{cases}$

Resolvendo isto, você encontrará

$\begin{cases} A = - \frac{-7}{12}, \\ B = \frac{3}{2}, \\ C = \frac{8}{15}, \\ D = \frac{21}{20}. \end{cases}$

Agora

$\int \frac{x^3 -3x^2 +5x -12}{(x-1)^2 (x+1)(x-4)} \, dx$

$= - \frac{7}{12} \int \frac{1}{x-1} \, dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x-1)^2} \, dx + \frac{8}{15} \int \frac{1}{x-4} \, dx + \frac{21}{20} \int \frac{1}{x+1} \, dx$ .

Termine.

P.S.: Eu resolvi o sistema usando o Mathematica, você pode fazê-lo usando o Wolfram Alpha. Dá pra fazer no braço, só que toma um tempo.