Equação vetorial da reta/plano

por **Danilo** » Ter Nov 06, 2012 14:58

Ache uma reta que passa pelo ponto (1,-2,3) e que forma ângulos de 45 graus e 60 graus com os eixos x e y respectivamente.

Sei que para eu encontrar a equação da reta falta apenas um vetor diretor desta reta. Mas eu não sei como usar a informação dos angulos formados com o eixo x e y e muito menos visualizar isso para resolver... grato a quem puder ajudar !

por **MarceloFantini** » Ter Nov 06, 2012 15:31

Seja

este vetor diretor unitário.

Se ele faz um ângulo de 45° com o eixo x, então o produto interno será $(a,b,c) \cdot (1,0,0) = a = |v| \cdot |Ox| \cos \theta_1 = \cos \theta_1 = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Analogamente, se ele faz um ângulo de 60° com o eixo y, então o produto interno será $(a,b,c) \cdot (0,1,0) = b = |v| \cdot |Oy| \cos \theta_2 = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ .

Como

é unitário, então a^2 +b^2 +c^2 = 1

e daí $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + c^2 = 1$ e $|c| = \frac{1}{2}$ . Isto significa que existem dois vetores diretores que satisfazem:

$v_1 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ e $v_2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \right)$ .

Portanto, uma destas duas retas satisfará o que o enunciado pede:

$r_1 : (1, -2, 3) + t \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ ou $r_2 : (1,-2, 3) + t \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \right)$ .

por **Danilo** » Ter Nov 06, 2012 15:57

MarceloFantini escreveu:Seja este vetor diretor unitário.

Se ele faz um ângulo de 45° com o eixo x, então o produto interno será $(a,b,c) \cdot (1,0,0) = a = |v| \cdot |Ox| \cos \theta_1 = \cos \theta_1 = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Analogamente, se ele faz um ângulo de 60° com o eixo y, então o produto interno será $(a,b,c) \cdot (0,1,0) = b = |v| \cdot |Oy| \cos \theta_2 = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ .

Como é unitário, então e daí $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + c^2 = 1$ e $|c| = \frac{1}{2}$ . Isto significa que existem dois vetores diretores que satisfazem:

$v_1 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ e $v_2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \right)$ .

Portanto, uma destas duas retas satisfará o que o enunciado pede:

$r_1 : (1, -2, 3) + t \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ ou $r_2 : (1,-2, 3) + t \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \right)$ .

Marcelo, por que você considerou o vetor v como sendo um vetor unitário? E por que o produto interno a (0,1,0) ? Grato!

por **MarceloFantini** » Ter Nov 06, 2012 16:02

Unitário foi para facilitar, porque realmente não faz diferença. Se ele tivesse um outro módulo, sempre podemos colocá-lo unitário pois basta dividir pelo módulo. Então é mais fácil assumir unitário de cara. O produto interno com (0,1,0)

é para encontrar a projeção no eixo y, assim como fiz no eixo x.

por **Danilo** » Ter Nov 06, 2012 19:53

MarceloFantini escreveu:Unitário foi para facilitar, porque realmente não faz diferença. Se ele tivesse um outro módulo, sempre podemos colocá-lo unitário pois basta dividir pelo módulo. Então é mais fácil assumir unitário de cara. O produto interno com é para encontrar a projeção no eixo y, assim como fiz no eixo x.

Entendi!!! :-D