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[PG] Duvidas

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[PG] Duvidas

por fabriel » Qua Out 31, 2012 11:32

E ai pessoal então: é dado essa questão:
"Determine três números de uma PG, conhecendo sua soma 19, e a soma de seus quadrados 133."
Sei que a soma dos termos de uma pg é dada:
$Sn=\frac{{a}_{1}.\left(1-{r}^{n} \right)}{1-r}$
Então:
$19=\frac{{a}_{1}.\left(1-{r}^{n} \right)}{1-r}$
Posso deixar isso em função de (a1 e r)
Mas como será dos quadrados??
Obrigado!!

Matemática, de modo algum, são fórmulas, assim como a música não são notas. (Y Jurquim)

fabriel: Usuário Parceiro; Mensagens: 88; Registrado em: Ter Mai 22, 2012 16:04; Localização: Chapadão do Sul-MS; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: licenciatura em matemática; Andamento: cursando

Re: [PG] Duvidas

por young_jedi » Qua Out 31, 2012 19:36

repare que se voce tem tres termos da pg a,b,c

então

a+b+c=19

a+b+c=19

e

a^2+b^2+c^2=133

então se elevarmos a primeira equação ao quadrado

(a+b+c)^2=19^2

(a+b+c)^2=19^2

a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=261

mais substituindo o valor da expressão da soma dos quadrados

133+2ab+2ac+2bc=261

133+2ab+2ac+2bc=261

2(ab+ac+bc)=261-133

ab+ac+bc=114

mais nos temos que b=a.r e c=b.r onde r é a razão da pg então

ac=a.b.r

ac=a.b.r

ac=a.r.b

ac=b.b

substituindo na equação

ab+b.b+bc=114

ab+b.b+bc=114

b(a+b+c)=114

mais ja sabemos que a soma dos elemtos é igual a 19

b.19=114

b.19=114

b=6

encontramos um elemento da pg
sabendo a soma dos elementos da para de terminar r razão e os outros dois elelmentos

young_jedi: Colaborador Voluntário; Mensagens: 1239; Registrado em: Dom Set 09, 2012 10:48; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia Elétrica - UEL; Andamento: formado

Re: [PG] Duvidas

por fabriel » Qui Nov 01, 2012 01:34

Obrigado. Agora vi a solução!! :y:

:y:

PG:(4,6,9)

Matemática, de modo algum, são fórmulas, assim como a música não são notas. (Y Jurquim)

fabriel: Usuário Parceiro; Mensagens: 88; Registrado em: Ter Mai 22, 2012 16:04; Localização: Chapadão do Sul-MS; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: licenciatura em matemática; Andamento: cursando

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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
$2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*$
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois $2.1 \geq 1+1$
2°) Admitamos que $P(k), k \in \aleph*$ , seja verdadeira:
$2k \geq k+1$ (hipótese da indução)
e provemos que $2(k+1) \geq (K+1)+1$
Temos: (Nessa parte)
$2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1$

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

$2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}$

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

$2*1 \geq 1+1$

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que

seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1

k+1

.

$\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}$
$2k \geq k+1$

$\mbox{Vamos provar que:}$
$2(k+1) \geq (k+1)+1$

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: $2(k+1) \geq (k+1)+1$ , certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

$2k+2 \geq (k+1)+2$

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1)

2(k+1)

é $\geq$ a (k+1)+2

(k+1)+2

, e este por sua vez é sempre

que

(k+1)+1

, logo:

$2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}$

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D

:-D

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