[Integrais] Prova de teorema

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 28, 2012 20:35

Boa noite a todos.

Há um teorema que diz o seguinte:

$\int a^x$

$\frac{a^x}{ln(a)} + C$

Tentei provar derivando $\frac{a^x}{ln(a)}$ , mas não cheguei ao resultado que deveria dar.

Fiz o seguinte:

Tentei colocar a parte da regra do quociente em latex aqui, mas deu um "error 6", mas enfim, após montar a regra do quociente e simplificar um pouco, cheguei em:

$\frac{a^x(ln(a))^2-\frac{a^x}{a}}{(ln(a))^2}$ , cortando os

, chego em:

$a^x-\frac{a^x}{a}$ , tirando MMC:

$\frac{a.a^x-a^x}{a}$ , colocando o a em evidência (na verdade, nem sei se pode):

$\frac{a(a^x-1^x)}{a}$ , cortando os a do numerador e denominador, chego em:

a^x-1^x

Sei que há erros aí, por favor me corrijam.

por **young_jedi** » Dom Out 28, 2012 21:49

aplicando a regra do quociente

$\frac{a^x.(ln(a))^2-a^x.0}{(ln(a))^2}=a^x$

a falha esta na derivada de ln(a) como a é uma constante então ln(a) tambem é constante ou seja sua derivada é igual a 0

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 28, 2012 21:53

Caramba, nem reparei nesse detalhe...
Obrigado Jedi.

por **MarceloFantini** » Dom Out 28, 2012 22:30

Não é necessária a regra do quociente. Note que $\ln (a)$ é uma constante, basta derivar a^x

. Note que se y=a^x

, então $\ln y = x \ln a$ , e pela definição de logaritmo natural, temos que $y = e^{x \ln a}$ .

Sabemos derivar $e^{kx}$ usando a regra da cadeia, portanto $y' = (a^x)' = (e^{x \ln a})' = \ln a e^{x \ln a} = \ln a a^x$ .

Portanto $\frac{d}{dx} \frac{a^x}{\ln a} = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln a \cdot e^{x \ln a} = e^{x \ln a} = a^x$ .

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