[Integral Dupla] 2

por **gedersoncruz** » Dom Out 21, 2012 21:27

Fiz uma transformação em coordenadas polares e obtive esta integral, porém não consegui resolvê-la... estou em dúvida se há a possibilidade de usar alguma identidade trigonométrica neste caso para poder simplificar a equação. Tentei fazer sem simplificar e obtive o resultado distinto da resposta que é $8\pi\sqrt[]{2}$ .Se alguém puder ajudar, agradecido.

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(8-2r^2cos^2\Theta-4r^2sen^2\Theta).\sqrt[]{2}.r.dr.d\Theta$

por **young_jedi** » Dom Out 21, 2012 22:24

da pra fazer assim

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(8-2r^2cos^2\theta-2r^2sen^2\theta-2r^2sen^2\theta)\sqrt{2}.r.dr.d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(8-2r^2(cos^2\theta+sen^2\theta)-2r^2sen^2\theta)\sqrt{2}.r.dr.d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(8-2r^2-2r^2sen^2\theta)\sqrt{2}.r.dr.d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(8-2r^2-2r^2sen^2\theta)\sqrt{2}.r.dr.d\theta$

mas temos que

$cos2\theta=cos^2\theta-sen^2\theta$

e

$1=cos^2\theta+sen^2\theta$

subtrainco a primeira da segunda

$1-cos2\theta=2sen^2\theta$

$sen^2\theta=\frac{1-cos2\theta}{2}$

substituindo na integral

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\left(8-2r^2-2r^2\left(\frac{1-cos2\theta}{2}\right)\right)\sqrt{2}.r.dr.d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\left(8-2r^2-r^2+r^2cos2\theta\right)\sqrt{2}.r.dr.d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\left(8-3r^2+r^2cos2\theta\right)\sqrt{2}.r.dr.d\theta$

acredito que assim é mais facil de resolver

[Integral Dupla] 2

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