Limite no infinito com raíz.

por **Sobreira** » Dom Out 21, 2012 01:46

$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)= \lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[]{9{x}^{2}+x}- 3x$

Meus amigos...

Este é o limite no infinito que desejo calcular.
Na realidade eu já efetuei o cálculo e encontrei 0 como resposta...mas na resposta da lista de exercícios que estou resolvendo este tem como resposta: 1/6.
Visto que na resolução do problema, dividindo por $\sqrt[]{{x}^{2}}$ na primeira parte ficará 9 e na segunda parte, realizando a simplificação ficará 3.
Então raíz de nove menos 3 será 0.

Gostaria de saber se estou certo no meu cálculo, ou se a resposta é realmente a indicada na lista de exercícios.

por **e8group** » Dom Out 21, 2012 10:32

Basta lembrar que a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

. Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que ,

$\sqrt{9x^2 +x}-3x = \sqrt{9x^2 +x}-3x \cdot \left(\frac{\sqrt{9x^2 +x}+3x}{\sqrt{9x^2 +x}+3x}\right) = \frac{|9x^2+x| -9x^2}{\sqrt{9x^2 +x}+3x} = \frac{x}{\sqrt{9x^2+x}+3x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{9x^2+x} +3x}{x}} = \frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}} +3}$ .

Daí ,

$\lim_{x\to +\infty} \sqrt{9x^2 +x}-3x = \lim_{x\to +\infty} \frac{1} {\sqrt{9+x^{-1}} +3} = \frac{1}{\sqrt{ \lim_{x\to +\infty} (9+x^{-1})} +3} = \frac{1}{\sqrt{9 + 0}+3} = \frac{1}{6}$ .

por **Sobreira** » Dom Out 21, 2012 12:06

OK.
Mas a regra para calcular um limite no infinito não é dividir pelo maior grau de x ??
Neste caso como o maior grau de x está sob um radical, eu não teria que dividir por $\sqrt[]{{x}^{2}}$ ?

por **Sobreira** » Dom Out 21, 2012 12:35

Por exemplo,

$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)= \lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt[]{{x}^{2}+1}-x)$

No meu entendimento esta questão é idêntica à anterior, com valores diferentes.
Este exercício tem como resposta 0.
E para resolver este exercício eu utilizei do mesmo método para resolver o exercício anterior.

por **MarceloFantini** » Dom Out 21, 2012 12:51

O seu entendimento está errado pelo fato que a função dentro da raíz é 9x^2 +x

e não

, onde $k \in \mathbb{R}$ . Veja os passos para a resolução do outro e compare:

$\sqrt{x^2 +1} -x \cdot \frac{\sqrt{x^2 +1} +x}{\sqrt{x^2 +1} +x} = \frac{x^2 +1 -x^2}{\sqrt{x^2 +1} +x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 +1}+x}$ .

Aplicando o limite nisto, o denominador tende a zero enquanto o numerador é constante, daí $\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ . Compare com a resolução do Santhiago.

por **Sobreira** » Dom Out 21, 2012 14:07

Ok.
Consegui entender essa diferença e esta parte da explicação.
Mas, desculpem minha insistência...
Não consigo entender porque, neste caso específico, não utilizo a técnica de dividir cada termo pelo maior grau de x.
Estava resolvendo uma lista de exercícios de limites no infinito e todos os outros exercícios eu resolvi utilizando a técnica mencionada acima.
De repente vocês até estão utilizando esta técnica, mas eu não consigo enxergar....
Porque começam utilizando a fatoração logo de cara e não aplicando a técnica já questionada?

por **Sobreira** » Dom Out 21, 2012 16:51

E aí pessoal???
Ninguém???
:?:

Gostaria bastante de solucionar essa minha dúvida acima...pois não me importo em acertar ou errar algum exercício, afinal isso acontece, mas fico realmente preocupado quando não entendo o fundamento ou a técnica para o cálculo de determinado problema.
E como eu disse...
Aprendi e sempre vim calculando limites no infinito daquela maneira, dividindo cada termo pelo maior grau de x e de repente na resolução deste exercício não enxerguei este procedimento.
Por favor, gostaria muito que me ajudassem...
Obrigado.

por **MarceloFantini** » Dom Out 21, 2012 16:58

Sobreira, lembre-se que somos todos voluntários e não temos tempo para ficar o dia inteiro no fórum. Se sua dúvida ainda não fora respondida é porque não estávamos aqui, não porque não queríamos.

Para entender melhor porque talvez seu método não se aplique, por que não faz todos os passos para que possamos analisar?

por **Sobreira** » Dom Out 21, 2012 17:37

MarceloFantini escreveu:Sobreira, lembre-se que somos todos voluntários e não temos tempo para ficar o dia inteiro no fórum. Se sua dúvida ainda não fora respondida é porque não estávamos aqui, não porque não queríamos.

Para entender melhor porque talvez seu método não se aplique, por que não faz todos os passos para que possamos analisar?

Hora nenhuma reenviei o questionamento tentando pressionar por uma solução imediata.
Apenas quis reforçar a minha dúvida...para que se de repente outra pessoa soubesse, me ajudasse, assim como já aconteceu em outros tópicos.
Quanto a questão do método utilizado acho que fui realmente claro, e caso alguém tenha/tivesse alguma dúvida na execução do método poderia diretamente me dizer o que (em qual momento) não entendeu....Fato que não ocorreu ainda, por isso não vejo motivo para reenviar toda idéia de novo.
De qualquer forma, se alguém não entender algum passo pode me questionar, pois estou à disposição, não só para sanar minhas dúvidas, quanto também eventuais dúvidas de colegas.

por **e8group** » Dom Out 21, 2012 18:12

Sobreira . Pessoalmente , não me "prendo" a uma única forma (manipulação matemática) de solucionar um exercício ,não necessariamente estou solucionando de uma forma errada , apenas escolhi outro caminho que direciona a mesma resposta . Reflita !

Faça novamente uma analise e pergunte aqui exatamente oque vc não entendeu .

por **Sobreira** » Dom Out 21, 2012 19:57

Bom.
Todo o procedimento que eu realizei está descrito abaixo.
Também não tenho por hábito seguir procedimentos para a resolução de determinados exercícios.
Mas como eu disse, o método que eu aprendi para calcular limites no infinito é dividir cada termo pelo maior grau de x presente na função para obter algo do tipo cte/ $\infty$ e então encontrar 0 e dái em diante resolver.
Como disse, ainda, eu resolvi todos os exercícios de uma lista de limites no infinito com esse procedimento e somente este não deu certo.
Desde já agradeço pela colaboração e qualquer dúvida estou a disposição.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)= \lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[]{9{x}^{2}+x}- 3x$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt[]{{9x}^{2}+x}}{\sqrt[]{{x}^{2}}}-\frac{3x}{\sqrt[]{{x}^{2}}}$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[]{\frac{9{x}^{2}+x}{{x}^{2}}}-\frac{3x}{\left|x \right|}$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[]{\frac{9{x}^{2}}{{x}^{2}}+\frac{x}{{x}^{2}}}-\frac{3x}{x}$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[]{9+\frac{1}{x}}-3$

$\frac{1}{x}=$ $\frac{1}{\infty}=0$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[]{9}-3$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}=0$

por **MarceloFantini** » Dom Out 21, 2012 22:18

Sua resolução está incorreta. Você simplesmente dividiu tudo por $\sqrt{x^2}$ , alterando completamente a expressão. Este artifício de "dividir" pela maior potência costuma ser quando você tem uma fração onde numerador e denominador são polinômios ou expressões parecidas e você coloca as maiores potências da variável em evidência, simplificando e calculando o limite. Revise suas outras resoluções, é bem possível que algumas delas estejam erradas, se você aplicou o mesmo método que agora.

por **Sobreira** » Seg Out 22, 2012 08:08

MarceloFantini escreveu:Sua resolução está incorreta. Você simplesmente dividiu tudo por $\sqrt{x^2}$ , alterando completamente a expressão. Este artifício de "dividir" pela maior potência costuma ser quando você tem uma fração onde numerador e denominador são polinômios ou expressões parecidas e você coloca as maiores potências da variável em evidência, simplificando e calculando o limite. Revise suas outras resoluções, é bem possível que algumas delas estejam erradas, se você aplicou o mesmo método que agora.

Este artifício de "dividir" pela maior potência então, só pode exclusivamente ser utilizado quando eu tenho uma fração onde numerador e denominador são polinômios??
Quanto aos outros exercícios eu tive verificando e todos os outros eram frações com polinômios tanto no numerador quanto no denominador.

por **MarceloFantini** » Seg Out 22, 2012 10:29

Sim. Note que neste caso você não tinha denominador, e fez magicamente aparecer. Você até poderia fazer isso, desde que também multiplicasse o numerador por $\sqrt{x^2}$ , mas veria que isto não ajudaria em nada sua resolução.