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[Aplicações Derivadas] Dúvida exercício

[Aplicações Derivadas] Dúvida exercício

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 21, 2012 14:57

Estou com dúvida no seguinte exercício de taxas relacionadas:

Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A água "flui" no tanque a uma taxa de 2m^3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5m?

Tentei fazer da seguinte forma:
Como não sei a fórmula do cálculo do volume de um cone, pesquisei na internet e obtive V(r)=\frac{1}{3}\pi.r^2.h
Interpretando o enunciado, sei que \frac{dv}{dt}=2m^3/min e eu quero \frac{dh}{dt}.
Mesmo que com uma certa incerteza, cheguei na seguinte conclusão:

\frac{dv}{dt}=\frac{dh}{dt}.\frac{dv}{dr}

Como podem ver, a função V(r)=\frac{1}{3}\pi.r^2.h está em função de r(raio) e h(altura), então por semelhança de triângulos, fiz o seguinte:

\frac{4}{r}=\frac{16}{h}

4h=16r

h=4r

substituindo na função e arrumando, temos:

V(r)= \frac{4\pi.r^3}{3}

Derivando:

V'(r)=4\pi.r^2

Substituindo em \frac{dv}{dt}=\frac{dh}{dt}.\frac{dv}{dr}

\frac{dv}{dt}=(2).(4\pi(4)^2)

\frac{dv}{dt} quando h=5, = 128\pi m/min

No gabarito, o resultado deveria ser 1,28\pi m/min.

Se forem perceber, nem usei a informação da profundidade de 5m e acredito que meu erro está relacionado a isto...

Qual foi o meu erro?

Edit:

Me desculpe gente, fiquei fuçando no exercício e acabei copiando errado aqui...

na verdade pra dar tal resultado que deu, primeiramente eu havia feito a seguinte relação:

\frac{dh}{dt}=\frac{dv}{dt}.\frac{dv}{dr}
Editado pela última vez por MrJuniorFerr em Dom Out 21, 2012 19:27, em um total de 1 vez.
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício

Mensagempor young_jedi » Dom Out 21, 2012 16:37

fala MrJuniorFerr

voce montou o exercicio certinho
minha primeira sugestão é a seguinte, como voce acho que

h=4r

eu sugiro que voce substitua o valor de r na equação, sendo assim ficaria

V=\frac{1}{3}.\pi.\left(\frac{h}{4}\right)^2.h

V=\frac{\pi}{3}\frac{h^3}{16}

derivando com relação a t

V'(t)=\frac{\pi}{3}.\frac{3h^2}{16}.\frac{dh}{dt}

V'(t)=\frac{h^2.\pi}{16}.\frac{dh}{dt}

substituindo os valore de V'(t)=2 e h=5 voce encontra \frac{dh}{dt}
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 21, 2012 19:30

E aí Jedi, blz?
Não sei se você percebeu, mas eu fiquei fuçando na minha resolução antes de mandar a minha dúvida pra cá e acabei colocando errado aqui... confira no meu 1º post, coloquei um "edit ali embaixo.
Como vou saber se o que eu quero, fica na multiplicação ou do outro lado da igualdade?
Fiz como vc disse e não deu certo Jedi :(
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício

Mensagempor young_jedi » Dom Out 21, 2012 20:04

na verdade oque voce utiliza nesse caso é a regra da cadeia

\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dh}.\frac{dh}{dt}

como no exercicio ele da a variação do volume pelo tempo, então voce tem que

\frac{dv}{dt}=2

e o que voce quer encontrar é a taxa de variação da altura

\frac{dh}{dt}

substituindo na derivada encontrada no meu ultimo post

\frac{dv}{dt}=\frac{h^2.\pi}{16}.\frac{dh}{dt}

2=\frac{5^2\pi}{16}.\frac{dh}{dt}

\frac{dh}{dt}=\frac{32}{25\pi}

\frac{dh}{dt}=\frac{1,28}{\pi}
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 21, 2012 20:09

Jedi, seu resultado deu \frac{32}{25\pi} mas o gabarito deu \frac{32\pi}{25}. Não são diferentes?
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício

Mensagempor young_jedi » Dom Out 21, 2012 20:18

realmente são diferentes, estava dando uma revisada no calculo, mais não encontrei nenhum erro, como são similares talvez possa ter algum erro de digitação no gabarito, se tiver como voce dar uma conferida nisso...
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 21, 2012 20:24

Capaz de ser isso mesmo Jedi. Por isso que quebrei tanto a minha cabeça huahuahua
Não pensei na hipótese de ser um erro no gabarito pelo fato da professora já ser experiente e usar este mesmo material/lista nas turmas anteriores... mas enfim, amanhã verifico com ela em sua aula.
Obrigadão Jedi!
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.