[limite trigonometricos] Fundamental II

por **TheKyabu** » Sáb Out 20, 2012 18:27

Esses 2 exercicios n to conseguindo enxergar o artificio matematico q devo usar,ja tentei força aparecer produtos notaveis mas n sai do lugar
1º Exercicio $\lim_{x->0}\frac{sen({x}^{2}+\frac{1}{x}) - sen\frac{1}{x}}{x}$

2º $\lim_{x->0}\frac{x - senx}{{x}^{2}- senx}$

Vlw ai

por **e8group** » Sáb Out 20, 2012 20:55

Note que ,

cos(x^2) sin(1/x)+cos(1/x) sin(x^2) = sin(x^2 +1/x)

$\implies$

$\lim_{x\to 0} \frac{ sin(x^2 +1/x)-sin(1/x)}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{cos(x^2) sin(1/x)+cos(1/x) sin(x^2)-sin(1/x)}{x} =$

$\lim_{x\to 0} \frac{sin(x^{-1})[cos(x^2)-1] +sin(x^2)cos(1/x)}{x}$ .

Lembrando que ,

$cos(x^2)-1 = cos (2 \frac{x^2}{2} ) - 1 = (cos^2( \frac{x^2}{2} ) - sin^2( \frac{x^2}{2} )) -1 = (cos^2( \frac{x^2}{2} ) - 1) - sin^2( \frac{x^2}{2} ) = sin^2( \frac{x^2}{2} ) - sin^2( \frac{x^2}{2} ) = 0$ .

Daí ,

$\lim_{x\to 0} \frac{sin(x^{-1})[cos(x^2)-1] +sin(x^2)cos(1/x)}{x} =$

$\lim_{x\to 0} \frac{sin(x^2)cos(1/x)}{x} =$

$\lim_{x\to 0} \frac{(sin(x^2)cos(1/x) )x}{x^2}$

$\left(\lim_{x\to 0} \frac{(sin(x^2)cos(1/x) )}{x^2} \right) \cdot \lim_{x\to 0} x =$

$\left(\lim_{x\to 0} \frac{(sin(x^2)cos(1/x) )}{x^2} \right) \cdot 0 = 0 .$ .

por **TheKyabu** » Dom Out 21, 2012 00:17

Fala Santhiago,baum?
Mas na etapa que vc desenvolve $cos{x}^{2} - 1 = cos(\frac{2{x}^{2}}{2})- 1$
${cos}^{2}({x}^{2}/2)- 1 = - {sen}^{2}({x}^{2}/2)$
Ai o resultado seria $-2 {sen}^{2}({x}^{2}/2)$

Obrigado ai por me ajudar