[limite trigonometricos] Fundamental

por **TheKyabu** » Sex Out 19, 2012 23:02

$\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{1 - senx}{2x -\pi}$
Bom,tentei subistituir 2x - $\pi$ = u, mas caiu em uma indeterminaçao novamente
por favor me ajuda,obrigado.

por **e8group** » Sáb Out 20, 2012 01:57

Escrevendo , sin(x) = cos(x- \pi/2) temos que ,

$\lim_{x\to\\pi/2} \frac{1-sin(x))}{2x-\pi} = \frac{1}{2}\left(\lim_{x\to\\pi/2} \frac{1-cos(x-\pi/2)}{x-\pi/2} \right )$ .

Fazendo a mudança de $x- \pi/2$ para

implica que ,

$\lim_{x\to\\pi/2} \frac{1-sin(x))}{2x-\pi} = \frac{1}{2}\left(\lim_{x\to\\pi/2} \frac{1-cos(x-\pi/2)}{x-\pi/2} \right ) = \frac{1}{2}\left(\lim_{z\to\\0} \frac{1-cos(z)}{z} \right ) =$

$\frac{1}{2}\left(\lim_{z\to\\0} \frac{1-cos(2z/2)}{z} \right ) = \frac{1}{2}\left(\lim_{z\to\\0} \frac{1-cos^2(z/2)+sin^2(z/2)}{z} \right ) =$

$\frac{1}{2}\left(\lim_{z\to\\0} \frac{sin^2(z/2)}{z/2} \right ) = \frac{1}{4}\left(\lim_{z\to\\0} \frac{sin^2(z/2)}{(z/2)^2}z \right ) =$

$\frac{1}{4}\left(\lim_{z\to\\0} \frac{sin(z/2)}{(z/2) } \cdot \lim_{z\to\\0} \frac{sin(z/2)}{(z/2) } \cdot \lim_{z\to\\0} z \right ) = \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0.$

OBS>: Utilizei a propriedade :

$cos(2\theta) = cos^2(\theta) - sin^2(\theta)$ .

por **TheKyabu** » Sáb Out 20, 2012 12:50

Ola Santhiago,
Tenho duas duvidas
1º não entendi pq $senx=cos(x - \frac{\pi}{2})$ ,eu sei q deve ser ridicula essa duvida mas n to lembrando desse conceito =/
2º tbm nao entendi pq $\frac{{sen}(\frac{z}{2})}{\frac{z}{2}}$ vc aplico o limite fundamental

Obrigado pela ajuda

por **e8group** » Sáb Out 20, 2012 13:12

TheKyabu ,ok !

Primeiro ,basta lembra que $cos (a-b) = cos (a) \cdot cos (b) + sin (a) \cdot sin (b)$ . logo desenvolvendo $cos( x -\frac{\pi}{2}$ chegará em sin(x) .

Segundo , faça $\frac{z}{2} = k$ . Quando $z \to 0 , k \to 0$ .

Estou sem tempo aqui para entrar em mais detalhes ,espero que ficou claro . Se vc ficou com dúvidas as identidades trigonometricas ,seria bom revisar-lás .