[Inteiros: múltiplos comuns]

[Gustavo Gomes]

Olá, Pessoal.

Estou com dúvida na seguinte questão:

'As casas do quadrado da figura abaixo foram preenchidas com nove números inteiros positivos, de modo a fazer com que os produtos dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal fossem todos iguais.
Em seguida, seis números inteiros foram apagados, restando os números 6, 9 e 12, nas posições mostradas. Se x era o número escrito na casa que está na primeira linha e na primeira coluna, e y era o número escrito na casa que está na primeira linha e na terceira coluna, qual o valor de x + y?'

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A resposta correta é 5.

Analisando a diagonal principal e a terceira coluna, vê-se que a igualdade do produto de seus respectivos números acontece para valores de x e y satisfazendo 2x = 3y, no entanto, não consegui estabelecer a unicidade do resultado, satisfazendo a igualdade dos produtos de todas as linhas colunas e diagonais......

Obrigado.

[MarceloFantini]

Bom, certamente esta é a menor solução inteira. Temos que , que será inteiro apenas se com .

Logo, . A menor solução será se , daí a resposta. Se ele dissesse que 12 era o maior número inteiro positivo dentre os que estão no quadrado conseguiríamos a unicidade deste resultado, mas não sei de que outra forma isto é possível.