Série de Potências Complexos [2]

por **Russman** » Qui Out 04, 2012 23:21

Na seguinte questão:

Dê os desenvolvimentos em série de Laurent, em potências de

, para a função

$f(z) = \frac{1}{z^2(1-z)}$

nas regiões (a) $0<\left|z \right|<1$ e (b) $\left|z \right|>1$ .

Eu entendo que , na (a),

$f(z) = \frac{1}{z^2(1-z)} =\frac{1}{z^2} \frac{1}{(1-z)}$

de onde

$f(z) = \frac{1}{z^2}\sum_{n=0}^{\infty}z^n = \sum_{n=0}^{\infty}z^{n-2}$ .

Isto é, expandi a função $\frac{1}{(1-z)}$ em torno do z=0

.

Porém, o que muda no processo para a outra região? A resposta é

Rsp(b) : $- \sum_{n=0}^{\infty}z^{-(n+3)}$ .

Eu não sei porque.

por **young_jedi** » Sex Out 05, 2012 11:39

para que a serie geometrica seja convergente temos que

$\sum_{n=0}^{\infty}r^n$

temos que |r|<1 se fizermos

$r=\frac{1}{z}$

então se |z|>1 , |r|<1

então rearanjando a expressão

$\frac{1}{z^2(1-z)}=\frac{1}{z^3(z^{-1}-1)}$

$\frac{1}{z^3(z^{-1}-1)}=z^{-3}\left(-\frac{1}{1-z^{-1}}\right)$

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