[RETAS] equação vetorial

por **renan_a** » Qua Set 26, 2012 19:59

Sejam r e s retas reversas passando or A e B e por C e D, respectivamente. Obtenha uma equação vetorial para a reta l concorrente com r e s e que é paralela ao vetor v(1,-5,-1) onde A(0,1,0) , B(1,1,0) , C (-3,1,-4) e D(-1,2, -7)

Da reta r, o vetor diretor seria o AB=(1,0,0)
Da reta s, o vetor diretor seria o CD=(2,1,-3)

r: (0,1,0) + t(1,0,0)
s: (-3,1,-4) +s(2,1,-3)

Eu teria que achar um ponto de interseção entre r e l , e entre s e l para daí eu fazer um vetor (ex.: ponto M e N , fazer o vetor MN) e formar a equação??

Alguém tem ideia de como se faz? Não consigo achar um ponto em comum entre essas retas...

por **young_jedi** » Qua Set 26, 2012 20:19

exatamente

pegando um ponto M(t,1,0) pertencente a reta r e um ponto N(2s-3,s+1,-3s-4)
o vetor MN(t-2s+3,1-s-1,3s+4)

tem que ser igual ao vetor diretor da reta l multiplicado por um valor, ou seja

(t-2s+3,1-s-1,3s+4)&=&l(1,-5,-1)

com isso voce tem um sistema de tres equação e tres incognitas resolvendo voce encontra os valor de s, r, l, e os pontos M e N e com isso a equação da reta l

por **renan_a** » Qua Set 26, 2012 23:23

As 3 equações que tu diz, seriam: l= t-2s+3 , l= -s/-5 , l =3s + 4/-1 ??

por **young_jedi** » Qui Set 27, 2012 11:24

exatamente, essas tres equações

por **renan_a** » Qui Set 27, 2012 11:35

Consegui chegar numa matriz 3x3 com 3 incógnitas como tu havia dito.

Ficou:

2y - t -1 $\alpha$ =1
y + 0 +5 $\alpha$ =-1
-3y + 0 +1 $\alpha$ =7

acho que devo resover pelo método de cramer, correto?

por **young_jedi** » Qui Set 27, 2012 12:06

a dica que eu dou é manter as variaveis originais então o sistema ficaria

$\left\{ \begin{array}{c}t-2s-l=-3\\-s+5l=0\\3s+4l=-4\end{array}$
o metodo voce escolhe o que vc achar melhor, pode ser cramer se voce esta mais familiarizado

por **renan_a** » Sex Set 28, 2012 00:30

Eu tava lendo um pouco sobre definição de retas coplanares e não-coplanares, e surgiu uma dúvida quanto ao enunciado estar realmente correto. Pode retas que são reversas(em planos diferentes) terem uma reta concorrente a elas duas? Pois retas concorrentes nao têm que estar num mesmo plano? A não ser que no enunciado ele queira dizer que a reta l é uma reta que intercepta as outras duas retas. Espero que tenham me entendido

por **young_jedi** » Sex Set 28, 2012 13:04

pode sim amigo. Se duas retas r e s por exemplo são reversas, mais existe uma reta t que intercepta as duas, existe um plano que contem r e t, e existe um outro plano que contem s e t, é exatamente isso que ele quer no exercicio, uma reta que intercepta as outras duas.

por **renan_a** » Dom Set 30, 2012 12:13

Partindo da ideia que tenho duas retas r e s reversas, uma reta l que é concorrente à elas, tem que ter um ponto de interseção entre r e l, e s e l.
Supondo que um ponto M é o ponto de interseção entre r e l
e um ponto N é o ponto de interseção entre s e l

r:(x,y,z) = (0,1,0) + t(1,0,0)
s:(x,y,z) = (-3,1,-4) +h(2,1,-3)

Beleza...

Posso dizer que meu ponto M(t,1,0) e meu ponto N( -3 +2h, 1+h , -4-3h)

logo, o vetor MN será (-3 +2h -t, h , -4-3h)

Mas sei que o vetor MN é paralelo a V(1,-5,-1)

Então (-3 +2h -t, h , -4-3h) = $\lambda$ (1,-5,-1)

-3 + 2h - t = $\lambda$
0 + h +0 =-5 $\lambda$
-4 - 3h +0= -1 $\lambda$

Abaixo, está uma foto com o cálculo por cramer.

Só queria confirmar se está certo a regra de cramer.

Tendo o valor de t, lambda e h, é só substituir em um dos pontos e no vetor MN

l: (x,y,z) = (-23/4,1,0) + t( 1/4, -5/4 , -1/4)

É isso? Tem algum erro?

Abraços