[números complexos] raiz cúbica

por **JKS** » Dom Set 23, 2012 01:26

Me ajude... desde já agradeço

Se 3+4i é raiz cúbica de um complexo z, então o produto das outras raízes cúbicas de z é:

por **young_jedi** » Dom Set 23, 2012 13:48

veja que 3 e 4 são os catetos do triangulo que tem a hipotenusa como sendo 5

então podemos escrever

$5cos\theta+5i.sen\theta$

$5(cos\theta+i.sen\theta)$

utlilizando a relação de Euler

$5(cos\theta+i.sen\theta)&=&5e^{i.\theta}$

como isto é raiz cubica de z, então:

$z&=&5^3.e^{i.3.\theta}$

mas temos que:

$z&=&5^3.e^{i.3.\theta}&=&5^3.e^{i.(3.\theta+2\pi)}$

e ainda

$z&=&5^3.e^{i.3.\theta}&=&5^3.e^{i.(3.\theta+4\pi)}$

tirando a raiz cubica desses dois numeros temos

$r1&=&5.e^{i.(\theta+\frac{2\pi}{3})}$

$r2&=&5.e^{i.(\theta+\frac{4\pi}{3})}$

então o produto dos dois

$r1.r2&=&5.e^{i.(\theta+\frac{4\pi}{3})}.5.e^{i.(\theta+\frac{2\pi}{3})}$

$r1.r2&=&5^2.e^{i.(2\theta+\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3})}$

$r1.r2&=&5^2.e^{i.(2\theta+2\pi)}$

$r1.r2&=&5^2.e^{i.2\theta}$

$r1.r2&=&5^2.cos(2\theta)+i.5^2sen(2\theta)$

$r1.r2&=&5^2.cos(\theta+\theta)+i.5^2sen(\theta+\theta)$

$r1.r2&=&5^2.(cos^2\theta-sen^2\theta)+i.5^2.2cos\theta.sen\theta$

$r1.r2&=&5^2.cos^2\theta-5^2sen^2\theta+i.2.5cos\theta.5sen\theta$

substituindo da relação inicial

r1.r2&=&3^2-4^2+i.2.3.4

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