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[diferenciais] diferença de significados

[diferenciais] diferença de significados

Mensagempor Jhenrique » Seg Set 10, 2012 00:03

Saudações Pessoal!

Corrigam-me se eu estiver errado...
na definição de DERIVADA, as seguintes afirmações são válidas:

?x=dx : ?x
?y=dy : f(x+?x)-f(x)


mas em APROXIMAÇÃO DIFERENCIAL, as seguintes afirmações são válidas:

?x=dx : ?x
?y : f(x+?x)-f(x)
dy : t(x+?x)-t(x)


sendo:
f: função
t: reta tangente

Certo ou não?

Obg,

José
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Re: [diferenciais] diferença de significados

Mensagempor MarceloFantini » Seg Set 10, 2012 00:13

Henrique, não consigo entender o que você quer dizer. Poderia elaborar mais?
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Re: [diferenciais] diferença de significados

Mensagempor Jhenrique » Qui Set 13, 2012 03:26

Claro! Então... minha dúvida surgiu quando eu assisti a video aula 17 do Luiz Aquino, "Aproximação Linear e Diferencial". Nela, como na anterior ("Derivada de Ordem Superior"), ele manipula os diferenciais x e y normalmente, como se fossem variáveis quaisquer, e eu achei isso muitíssimo estranho, porque na video aula 13 dele, Regra da Cadeia, ele enfatiza claramente que não podemos simplificar um diferencial de um denominador com um diferencial do numerador seguinte. Mas como eu disse, em aulas futuras, ele os manipula normalmente, e isso eu não entendi muito bem... outra coisa também que não ficou muito claro é pq no exemplo 2 da video aula 17, o valor do dy é diferente do valor do ?y. Ele derivou a expressão do exemplo e calculou o valor de dy usando os mesmos dados do problema usados para calcular o valor de ?y, os valores são diferentes, não entendi porque... o que eu cheguei mais próximo de entender foi uma parte da resposta particular dele para mim que eu postei abrindo este tópico.

O Luiz me afirmou que o dy é da reta tangente "r", enquanto que o ?y é duma função qualquer "f"... rapidamente eu pensei que na aproximação diferencial, o dy pode ser diferente de ?y por essa razão, mas na definição de derivada imaginei que dy e ?y são idênticos.
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Re: [diferenciais] diferença de significados

Mensagempor LuizAquino » Qui Set 13, 2012 17:58

Jhenrique escreveu:Claro! Então... minha dúvida surgiu quando eu assisti a video aula 17 do Luiz Aquino, "Aproximação Linear e Diferencial". Nela, como na anterior ("Derivada de Ordem Superior"), ele manipula os diferenciais x e y normalmente, como se fossem variáveis quaisquer, e eu achei isso muitíssimo estranho, porque na video aula 13 dele, Regra da Cadeia, ele enfatiza claramente que não podemos simplificar um diferencial de um denominador com um diferencial do numerador seguinte. Mas como eu disse, em aulas futuras, ele os manipula normalmente, e isso eu não entendi muito bem... outra coisa também que não ficou muito claro é pq no exemplo 2 da video aula 17, o valor do dy é diferente do valor do ?y. Ele derivou a expressão do exemplo e calculou o valor de dy usando os mesmos dados do problema usados para calcular o valor de ?y, os valores são diferentes, não entendi porque... o que eu cheguei mais próximo de entender foi uma parte da resposta particular dele para mim que eu postei abrindo este tópico.

O Luiz me afirmou que o dy é da reta tangente "r", enquanto que o ?y é duma função qualquer "f"... rapidamente eu pensei que na aproximação diferencial, o dy pode ser diferente de ?y por essa razão, mas na definição de derivada imaginei que dy e ?y são idênticos.


Para que os outros participantes do fórum saibam de que aulas você está falando, você se refere as videoaulas do curso de Cálculo I que estão disponíveis no meu canal:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Em relação a sua dúvida, você está confundindo a notação de Leibniz "dy/dx", que serve para representar a derivada de uma função, com um quociente "dy/dx" que usamos em aproximação diferencial. Na notação de Leibniz, não estamos enxergando dy/dx como uma "mera" divisão entre os números dy e dx. Na verdade, dy/dx representa um limite nessa notação. Já na aproximação diferencial queremos dar um significado para a divisão entre os números dy e dx. Ou seja, um significado para dy/dx que não seja simplesmente uma notação. Considere então a figura abaixo.

figura.png
figura.png (10.9 KiB) Exibido 3458 vezes


Suponha que T seja a reta tangente a função f no ponto (x, f(x)). Façamos as seguintes definições:

(i) vamos chamar de \Delta x a variação da grandeza x. Por exemplo, se x variou de x_0 até x_1, então \Delta x = x_1 - x_0 . No nosso caso, como x variou de x até x + dx, teremos que \Delta x = dx;

(ii) vamos chamar de \Delta y a variação da grandeza y (lembrando que y é uma função de x) quando houve uma variação na grandeza x. Por exemplo, se x variou de x_0 até x_1, então \Delta y = f(x_1) - f(x_0) . No nosso caso, como x variou de x até x + dx, teremos que \Delta y = f(x+dx) - f(x);

(iii) vamos chamar de dy a variação da grandeza T quando houve uma variação na grandeza x. Por exemplo, se x variou de x_0 até x_1, então dy = T(x_1) - T(x_0) . No nosso caso, como x variou de x até x + dx, teremos que dy = T(x+dx) - T(x).

Analisando essas definições, perceba que teremos \Delta y \neq dy . Mas note que dy servirá como uma aproximação para \Delta y .

Considere agora o ângulo alfa, formado pela reta tangente T e o eixo x. Da definição de derivada, sabemos que f^\prime(x) = \textrm{tg}\,\alpha . Mas por outro lado, analisando o triângulo retângulo que tem hipotenusa em T e catetos medindo dx e dy, temos que \textrm{tg}\,\alpha = \dfrac{dy}{dx} . Concluímos então nesse caso que f^\prime(x) = \dfrac{dy}{dx}. Aqui estamos enxergando "dy/dx" como um quociente entre os números dy e dx que definimos anteriormente. Não estamos enxergando "dy/dx" como uma "mera" notação para representar a derivada de uma função. Sendo assim, como "dy/dx" é um quociente nesse caso, podemos escrever dy = f'(x)dx. Isso nos fornece uma forma de calcular dy sendo dados f'(x) e dx.

Agora faça um exemplo. Considere a função f(x) = x^3. Suponha que x variou de 5 até 5,2, ou seja, dx = 0,2. Agora calcule \Delta y = f(5,2) - f(5) e dy = f^\prime(5)dx . Compare os valores de \Delta y e dy. Faça também um esboço do gráfico de f e interprete esses dois valores.

Observação

Com base em toda essa discussão, note como a notação de Leibniz é bem conveniente. A expressão "dy/dx" usada apenas como uma "mera" notação (uma "escrita"), também pode ter uma interpretação como um quociente entre os números dy e dx, desde que esses números sejam definidos de forma adequada.
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Re: [diferenciais] diferença de significados

Mensagempor Jhenrique » Qui Set 20, 2012 01:15

Já entendi o que eu não estava entendendo... eu estava pensando que a função derivada duma função quadrática era a equação da própria reta tangente... e não é. A função derivar é uma coisa e a reta tangente é outra... as duas usam delta y e x nas suas fórmulas mas são conceitos diferentes.

Obg,

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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?