Matriz trigonométrica

por **DanielFerreira** » Dom Set 16, 2012 21:57

Encontre o valor de

:

$\begin{bmatrix} sen^8 \, x & cos^8 \, x \\ 1 & - 1 \end{bmatrix} = \frac{17}{32}$

Muito interessante essa questão!
Não tenho o gabarito, mas achei como resposta $x \approx 23^o$ , $x \approx 157^o$ , $x \approx 68^o$ e $x \approx 112^o$

O quê acham?

por **MarceloFantini** » Dom Set 16, 2012 22:30

Como apresentada, a questão não faz sentido. Não é possível igualar uma matriz a um número. Falta algo no enunciado.

por **vmo_apora** » Ter Set 18, 2012 08:27

Esse $\frac{17}{32}$ deve ser o valor do determinante da matriz. No final deve ficar alguma coisa parecida com isso
$-{sen}^{8}x-{cos}^{8}x=\frac{17}{32}$ . Aí é só resolver a equação.

por **young_jedi** » Ter Set 18, 2012 21:00

mesmo assim ainda falta algo pois para qualquer valor de x

sen^8x>0

e

logo

não tem como ser igual a $\frac{17}{32}$

por **DanielFerreira** » Ter Set 18, 2012 21:06

Vmo_apora,
boa noite!
A ideia é mesmo essa. No entanto, cometi um erro no sinal negativo. O correto seria:

danjr5 escreveu:Encontre o valor de :

$\begin{bmatrix} sen^8 \, x & cos^8 \, x \\ - 1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{17}{32}$

Muito interessante essa questão!
Não tenho o gabarito, mas achei como resposta $x \approx 23^o$ , $x \approx 157^o$ , $x \approx 68^o$ e $x \approx 112^o$

O quê acham?

por **DanielFerreira** » Ter Set 18, 2012 21:09

young_jedi escreveu:mesmo assim ainda falta algo pois para qualquer valor de x

e

logo

não tem como ser igual a $\frac{17}{32}$

E agora Young_jedi, é possível?

por **young_jedi** » Ter Set 18, 2012 21:55

agora é possivel so não tão sipmples

temos que

(sen^2x+cos^2x)^4&=&1

por binomio de newton

sen^8x+4sen^6x.cos^2x+6sen^4x.cos^4x+4sen^2x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4sen^6x.cos^2x+8sen^4x.cos^4x-2sen^4x.cos^4x+4sen^2x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4(sen^6x.cos^2x+2sen^4x.cos^4x+sen^2x.cos^4x)-2sen^4x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4(sen^4x.cos^2x+sen^2x.cos^4x)(sen^2x+cos^2x)-2sen^4x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4(sen^4x.cos^2x+sen^2x.cos^4x)-2sen^4x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4sen^2x.cos^2x(sen^2x+cos^2x)-2sen^4x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4sen^2x.cos^2x-2sen^4x.cos^4x+cos^8x&=&1

como

então

$sen^8x+sen^2(2x)-\frac{1}{8}.sen^4(2x)+cos^8x&=&1$

$sen^8x+cos^8x&=&1-sen^2(2x)+\frac{1}{8}.sen^4(2x)$

substituindo na equação do determinante

$1-sen^2(2x)+\frac{1}{8}.sen^4(2x)&=&\frac{17}{32}$

4.sen^4(2x)-32sen^2(2x)+15&=&0

substituindo 2sen^2(2x)&=&y

$y&=&\frac{16\pm\sqrt{16^2-60}}{2}$

$y&=&\frac{16\pm 14}{2}$

${y}_{1}&=&1$

${y}_{2}&=&-15$

como 2sen^2(2x)&=&y

a segunda raiz não convem

$sen(2x)&=&\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

$2x&=&\{45^o,135^o,225^o,315^o\}$

$x&=&\{22.5^o,67.5^o,112.5^o,157.5^o\}$

por **DanielFerreira** » Qui Set 20, 2012 21:22

Olá young_jedi,
boa noite!
Ótima resolução.

Segue a forma como fiz:

$sen^8 \, x + cos^8 \, x = \frac{17}{32}$

De $sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1$ temos:

$\begin{cases} sen^8 \, x + cos^8 \, x = \frac{17}{32} \\ sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \end{cases}$

Segue que:

$\\ (sen^2 \, x + cos^2 \, x)^2 = 1^2 \\\\ sen^4 \, x + 2 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + cos^4 \, x = 1 \\\\ (sen^4 \, x + cos^4 \, x)^2 = (1 - 2 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x)^2 \\\\ sen^8 \, x + 2 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x + cos^8 \, x = 1 - 4 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 4 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x = \\\\ sen^8 \, x + cos^8 \, x = 1 - 4 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 2 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x \\\\ \frac{17}{32} = 1 - 4 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 2 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x \\\\ 64 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x - 128 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 15 = 0 \\\\ \Delta = 12.544 \\\\ sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{128 \pm 112}{128} \\\\\\ \begin{cases} sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \boxed{\frac{15}{8}} \\\\ sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \boxed{\frac{1}{8}}\end{cases}$

Quando $\boxed{sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{15}{8}}$ :

$\\ \begin{cases} sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{15}{8} \\\\ sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \Rightarrow sen^2 \, x = 1 - cos^2 \, x \end{cases} \\\\\\ (1 - cos^2 \, x) \cdot cos^2 \, x = \frac{15}{8} \\\\ 8 \cdot cos^4 \, x - 8 \cdot cos^2 \, x + 15 = 0 \\\\ \boxed{\Delta < 0}$

Quando $\boxed{sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{1}{8}}$ :

$\\ \begin{cases} sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{1}{8} \\\\ sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \Rightarrow sen^2 \, x = 1 - cos^2 \, x \end{cases} \\\\\\ (1 - cos^2 \, x) \cdot cos^2 \, x = \frac{1}{8} \\\\ 8 \cdot cos^4 \, x - 8 \cdot cos^2 \, x + 1 = 0 \\\\ \Delta = 32 \\\\ cos^2 \, x = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{16}$

$\\ \begin{cases} cos^2 \, x = \boxed{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \Rightarrow cos \, x = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \\\\ cos^2 \, x = \boxed{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \Rightarrow cos \, x = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\end{cases}$

Calculando o valor de x:

$\\ \bullet \,\,\, cos \, x = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left ( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 23^o \\\\ \bullet \,\,\, cos \, x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 157^o \\\\ \bullet \,\,\, cos \, x = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left ( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 68^o \\\\ \bullet \,\,\, cos \, x = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 112^o$

por **young_jedi** » Qui Set 20, 2012 22:42

danjr5,

muito interssante tanto a postagem da questão como seu metodo de solução
vi uma outra solução em que se fazia uma substituição e chegava num polinomio do quarto grau, mais achar as raizes do polinomio era meio complicado