[limite]limite com raiz

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[limite]limite com raiz

Mensagempor will94 » Sáb Set 15, 2012 00:02

Preciso resolver o seguinte limite, só que sem L'Hôpital porque na prova o professor falou que vai cair uma questão aberta parecida ou mais difícil na prova não podendo derivar, e preciso treinar o máximo de maneiras possíveis de resolver.
Acredito que tenha que fatorar a função, só que não obtive o resultado que é 2/3.

\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[2]{x}-1}

Obrigado desde já :-D
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Re: [limite]limite com raiz

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Set 15, 2012 07:53

Seria interessante se pudéssemos retirar as raízes. Vamos tentar tomar x=t^3. Tiramos a raíz do numerador mas continuamos com \sqrt{t^3} no denominador. Se tentarmos x=t^2 também teremos o mesmo problema. Agora, o que poderíamos usar para cancelar ambos 2 e 3? O produto deles! Se x=t^6, então teremos

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} -1}{\sqrt{x} -1} = \lim_{t \to 1} \frac{t^2-1}{t^3-1}.

Daqui você já deve saber resolver.
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Re: [limite]limite com raiz

Mensagempor will94 » Sáb Set 15, 2012 17:48

Muito obrigado :-D
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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