[ LIMITE] Limite com módulo!

por **mih123** » Qua Set 12, 2012 17:26

Olá, estou em dúvida em alguns exercícios de limite com módulo. Tentei fazer este aqui,mas não sei como fazer os dois limites laterais!

$\lim_{x\to5/3}\sqrt[2]{\left|x \right|+\left|\left|3x \right| \right|+4}$

por **LuizAquino** » Sex Set 14, 2012 16:32

mih123 escreveu:Olá, estou em dúvida em alguns exercícios de limite com módulo. Tentei fazer este aqui,mas não sei como fazer os dois limites laterais!

$\lim_{x\to5/3}\sqrt[2]{\left|x \right|+\left|\left|3x \right| \right|+4}$

Note que tanto para $x\to \frac{5}{3}^+$ quanto para $x\to \frac{5}{3}^-$ temos que x e 3x são números positivos. Sendo assim, em ambos os casos teremos |x| = x e |3x| = 3x (e obviamente ||3x|| = |3x| = 3x).

$\lim_{x\to\frac{5}{3}^+} \sqrt{\left|x \right|+\left|\left|3x \right| \right|+4} = \lim_{x\to\frac{5}{3}^+} \sqrt{x + 3x + 4} = \sqrt{\frac{5}{3} + 3\cdot\frac{5}{3} + 4} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

$\lim_{x\to\frac{5}{3}^-} \sqrt{\left|x \right|+\left|\left|3x \right| \right|+4} = \lim_{x\to\frac{5}{3}^-} \sqrt{x + 3x + 4} = \sqrt{\frac{5}{3} + 3\cdot\frac{5}{3} + 4} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

por **mih123** » Sex Set 14, 2012 20:07

Eu ainda tenho uma dúvida,quando será $-\left|x \right|$ ?? Pensei que nos limites laterais,um seria positivo e o outro negativo.Faço muita confusão com isso.

por **LuizAquino** » Dom Set 16, 2012 11:11

mih123 escreveu:Eu ainda tenho uma dúvida,quando será $-\left|x \right|$ ?? Pensei que nos limites laterais,um seria positivo e o outro negativo.Faço muita confusão com isso.

O que você precisa entender a definição de módulo. Nós definimos que o módulo de um número real a (sendo que este módulo é representado por |a|), é tal que:

$|a| = \begin{cases}a,\,\textrm{ se }a \geq 0 \\ -a,\,\textrm{ se } a < 0\end{cases}$

Note que se a é um número negativo, então |a| = -a. Por exemplo, temos que |-2| = -(-2) = 2.

É isso que você precisa analisar no limite que tem módulo: o que está dentro do módulo é um número positivo ou negativo?

Vejamos um exemplo. Considere o limite abaixo:

$\lim_{x\to 2} \dfrac{|3x - 6|}{x - 2}$

Note que quando x se aproxima de 2 pela direita, ou seja $x\to 2^+$ , o número 3x - 6 é positivo. Faça um teste: escolha x = 2,1 e calcule 3x - 6. Dessa forma, como o número 3x - 6 é positivo, temos que |3x - 6| = 3x - 6 e ficamos com:

$\lim_{x\to 2^+} \dfrac{3x - 6}{x - 2} = \lim_{x\to 2^+} \dfrac{3(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x\to 2^+} 3 = 3$

Por outro lado, note que quando x se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja $x\to 2^-$ , o número 3x - 6 é negativo. Faça um teste: escolha x = 1,9 e calcule 3x - 6. Dessa forma, como o número 3x - 6 é negativo, temos que |3x - 6| = -(3x - 6) e ficamos com:

$\lim_{x\to 2^-} \dfrac{-(3x - 6)}{x - 2} = \lim_{x\to 2^-} \dfrac{-3(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x\to 2^-} -3 = -3$

Vamos agora considerar um outro exemplo. Seja o limite abaixo:

$\lim_{x\to 5} \dfrac{|2x - 8|}{x - 4}$

Nesse caso, note que quando x se aproxima de 5 tanto pela direita quanto pela esquerda, temos que o número 2x - 8 é positivo (e portanto |2x - 8| = 2x - 8 em ambos os limites laterais). Desse modo, temos que:

$\lim_{x\to 5^+} \dfrac{2x - 8}{x - 4} = \dfrac{2\cdot 5 - 8}{5 - 4} = 2$

$\lim_{x\to 5^-} \dfrac{2x - 8}{x - 4} = \dfrac{2\cdot 5 - 8}{5 - 4} = 2$

Agora tente você mesmo. Analise o limite abaixo:

$\lim_{x\to 1} \dfrac{|2x - 4|}{x - 2}$