Equação exponencial

por **Danilo** » Sex Ago 17, 2012 00:57

Resolva a equação,

${4}^{x+1} + {4}^{3-x} = 257$

Tentei resolver da seguinte maneira:

Chamei ${2}^{x} de y$ e fatorei o 4 e fiz as substituições, aí ficou:

$4{y}^{2} + \frac{{y}^{2}}{64} = 257$

eu encontrei como restultado y = 8, y =-8 como ${2}^{x}$ > 0 então y = 8. fazendo ${2}^{x}$ = 8 eu encontro x = 3. Mas segundo a resposta do livro, a resposta é 3 e -1. Não consigo encontrar -1 como resposta, esse é o problema...

por **Russman** » Sex Ago 17, 2012 01:21

Você não resolveu corretamente!

Note que

$4^{x+1} + 4^{3-x} = 257$

se simplifica para

$4^x.4+\frac{4^3}{4^x}=257 \Rightarrow 4.4^{2x}+64=257.4^x \Rightarrow 4.(4^x)^2-257.(4^x)+64=0$ .

Agora, faça 4^x=y

. Aqui esté seu erro: você esqueceu que $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ e não simplismente 2^x

.

Assim,

de onde

$y=\frac{257\pm \sqrt{257^2-4.4.64}}{8}\Rightarrow y=\frac{257\pm 255}{8}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_1=64\\ y_2=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

Portanto,

$\left\{\begin{matrix} y_1=64\\ y_2=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4^{x_1}=64\\ 4^{x_2}=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=3\\ x_2=-1 \end{matrix}\right.$

Aí está o gabarito.

por **Danilo** » Sex Ago 17, 2012 01:24

Russman, obrigado aee :y:

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