Função exponencial

por **Danilo** » Ter Ago 14, 2012 20:19

Determine o menor valor da expressão ${\left(\frac{1}{2} \right)}^{4x-{x}^{2}}$

Sei que quanto maior o valor do expoente, menor é o valor da base. E que neste caso o expoente tem de ter um valor positivo (me corrijam se eu estiver errado.). Mas eu não consigo aplicar essas informações no problema.

por **e8group** » Ter Ago 14, 2012 21:23

Minha solução :

Considerem as funções h , f

.Donde , $h(x) = x^2-4x $ e $ f(x) = 2^{h(x)}$ .Assim o menor valor da função f será o minimo absoluto da função h .Então ,

$\frac{d}{dx}h(x) = 2x -4 = 0\implies D h(2) = 0$ . Como a segunda derivada é maior que zero.Portanto o menor valor da função f será em x = 2 donde $y\in (0,1)$

Espero que ajude .

por **Danilo** » Ter Ago 14, 2012 22:48

santhiago escreveu:Minha solução :

Considerem as funções .Donde , $h(x) = x^2-4x $ e $ f(x) = 2^{h(x)}$ .Assim o menor valor da função f será o minimo absoluto da função h .Então ,

$\frac{d}{dx}h(x) = 2x -4 = 0\implies D h(2) = 0$ . Como a segunda derivada é maior que zero.Portanto o menor valor da função f será em x = 2 donde $y\in (0,1)$

Espero que ajude .

Santhiago, obrigado pela resposta ! Mas vc poderia me ajudar sem utilizar os conceitos vistos no ensino superior?

por **e8group** » Ter Ago 14, 2012 23:54

Sim .

Vamos por etapas.

1) $\left[\frac{1}{2}\right]^{4x -x^2} = 2^{x^2-4x}$

2) Sejam $f(x) = 2^{x^2-4x$ }, onde podemos resscrever que $f(x) = 2^{h(x)}$ .

3)Esta parte é analisar o comportamento da função

cujo objetivo é determinar o menor valor de

.

3.1 ) Note que , $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R^*_{+}}$ .Assim sabemos que o menor valor da função f estar entre 0 e 1 .

3.2) Seja x_0 o menor valor da função f .onde f(x_0) \in (0,1) .

Para determinarmos x_0

precisamos encontar o menor valor da função h .Para isto veja que h é uma função quadrática ,sendo assim podemos encontar menor "valor" pelo vertice da parábola de onde a teoria diz ,

Vertc.pará. = $(x_{vertc.} = \frac{-b}{2a} ,y_{vertc.} = \frac{-\Delta}{4a})$ .

Conclusão , x_0 = 4/2 = 2

e $f(x_0 = 2) = 2^{4-8} = 2^{-4} = \frac{1}{16}$ .

OBS.: Para uma leitura sobre funções quadráticas visite(http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... %C3%A1tica).Vale apena .

Obs.: A resposta estar de acordo com o gabarito ?

por **MarceloFantini** » Ter Ago 14, 2012 23:54

Você precisa encontrar o mínimo de $2^{x^2 -4x}$ . Note que isto será mínimo quando o expoente for mínimo, pois sabemos que a função exponencial é monotonamente crescente, ou seja, se $a \leq b$ então $2^a \leq 2^b$ . O mínimo do expoente será o vértice da parábola y = x^2 -4x