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Radiciação - simplificação

Radiciação - simplificação

Mensagempor Danilo » Dom Ago 12, 2012 00:39

Empacado em mais um exercício...

Simplifique a expressão \frac{2a \sqrt[]{ 1 + {x}^{2}}}{x + \sqrt[]{1 + {x}^{2}}}, sabendo que x = \frac{1}{2}\left(\sqrt[]{\frac{a}{b}} - \sqrt[]{\frac{b}{a}} \right) (0<b<a).

Bom, a primeira coisa que fiz foi racionalizar a expressão \frac{2a \sqrt[]{ 1 + {x}^{2}}}{x + \sqrt[]{1 + {x}^{2}}} e eu cheguei a 2a{x}^{2} + 2a - 2ax\sqrt[]{1+{x}^{2}}. Aí depois eu apenas substituo o valor de x na equação. Mas dá uma expressão astronômica e eu acabo não conseguindo chegar no resultado... Há alguma forma mais simples de fazer? Grato desde já... só faltam 3 exercícios pra eu terminar a sequencia do conteúdo em questão... mas eu não consigo passar para frente sem resolver todos. Uma outra pergunta: Como eu pesquiso se há uma questão igual utilizando o latex? Grato.
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Re: Radiciação - simplificação

Mensagempor MarceloFantini » Dom Ago 12, 2012 01:16

tNote que

\frac{2a \sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{x - \sqrt{1+x^2}}{x- \sqrt{1+x^2}}

= \frac{2a \sqrt{1+x^2} (x - \sqrt{1+x^2})}{x^2 - (\sqrt{1+x^2})^2}

= \frac{2ax \sqrt{1+x^2} - 2a(1+x^2)}{x^2 -1-x^2}

= 2a(1+x^2) - 2ax\sqrt{1+x^2}.

Agora, se x = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right), então 2x = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}.

Vamos agora transformar o lado direito da equação. Precisamos colocar em um denominador comum, logo vou multiplicar e dividir a primeira fração por \sqrt{a} e a segunda por \sqrt{b}. O resultado é

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{ab}} - \frac{b}{\sqrt{ab}} = \frac{a-b}{\sqrt{ab}}..

Procure fazer o resto.
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Re: Radiciação - simplificação

Mensagempor Danilo » Dom Ago 12, 2012 02:55

MarceloFantini escreveu:tNote que

\frac{2a \sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{x - \sqrt{1+x^2}}{x- \sqrt{1+x^2}}

= \frac{2a \sqrt{1+x^2} (x - \sqrt{1+x^2})}{x^2 - (\sqrt{1+x^2})^2}

= \frac{2ax \sqrt{1+x^2} - 2a(1+x^2)}{x^2 -1-x^2}

= 2a(1+x^2) - 2ax\sqrt{1+x^2}.

Agora, se x = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right), então 2x = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}.

Vamos agora transformar o lado direito da equação. Precisamos colocar em um denominador comum, logo vou multiplicar e dividir a primeira fração por \sqrt{a} e a segunda por \sqrt{b}. O resultado é

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{ab}} - \frac{b}{\sqrt{ab}} = \frac{a-b}{\sqrt{ab}}..

Procure fazer o resto.



Depois de várias tentativas, consegui. Valeu ! Só faltam dois ahueaeuhaehe :-D
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Re: Radiciação - simplificação

Mensagempor LuizAquino » Seg Ago 13, 2012 11:05

Danilo escreveu:Uma outra pergunta: Como eu pesquiso se há uma questão igual utilizando o latex?


Não dá para fazer uma pesquisa aqui usando os comandos do LaTeX.

Você deve fazer uma busca usando o enunciado do exercício ou ainda palavras chaves sobre ele.
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.